Soluzioni esercizi Fisica della Materia

Grufoony
https://github.com/Grufoony/Fisica_UNIBO

5 dicembre 2024

Ricavare Sackur-Tetrode

Per un gas perfetto é nota la

[ ( n ) ] F = N kBT ln --- - 1 nQ

Per calcolare l’entropia é sufficiente utilizzare la relazione

∂F- S = -∂T

ricordandosi che la concentrazione quantistica é definita

( ) 3 n = mkBT-- 2 Q 2πℏ2

Svolgendo i calcoli

{ [ ( ) ] ( ) 32 } S = - N kB ln -n- - 1 - N kBT 1-- mkB2 3T12 nQ nQ 2πℏ 2 { [ ( n ) 3]} = - N kB ln nQ- - 1- 2 = [ ( ) ] = N kB ln nQ- + 5 n 2

00112---024TN..Sk55642B-

Integrale di Bose

∫ ∞ n ∫ ∞ n - x I = -x---dx = x-e---dx = 0 ex - 1 0 1- e-x ∫ ∞ n -x∑∞ -kx = 0 x e e dx = ∞ ∫ k=0 = ∑ ∞ xne-x(k+1)dx k=0 0

Ponendo ora h = k + 1 e y = hx e si ottiene

∑∞ ∫ ∞ yn -y I = hn+1e dy = h=1 0 ∫ ∑∞ -1--- ∞ n -y = hn+1 0 y e dy = h=1 = ζ(n + 1)Γ (n + 1)

Esercizio 4.17 (Kennett)

Considerare un sistema di spin non interagenti, ciascuno con energia ϵ = -sμB, con s = ±1. Trovare l’energia libera di Helmholtz per un sistema di N spin in un solido.

Cominciamo con lo scrivere la funzione di partizione di unaparticella singola

Z1 = eβμB + e- βμB = 2 cosh(βμB )

Trovandoci in un solido gli spin sono disposti a reticolo, quindi distinguibili. L’energia libera di Helmholtz é

F = - kBT ln(ZN1 ) = - NkBT ln[2 cosh(βμB )]

(a) Sapendo che la magnetizzazione si puó esprimere come M = - ∂∂FB- , trovare la magnetizzazione per spin m.

Avendo giá l’energia di Helmholtz possiamo procedere con il calcolo

M = - 1-∂F-= NkBT--∂ln-[2cosh(βμB-)]- μ ∂B μ ∂B kBT-2sinh(β-μB)βμ- m = μ 2cosh(βμB ) = tanh(βμB )

---0123--001βm 3 2 1 1 0.5μ.B5

(b) Trovare la capacitá termica a campo magnetico costante e verificare la presenza di un’anomalia di Schottky.

Per il calcolo useremo questa volta la funzione di partizione

C = ∂U-= - -∂-∂ln(ZN1-)= V ∂T ∂T ∂ β ∂ ∂ln(2cosh(β μB)) = - N ∂T------∂β-------= ∂ 2sinh(β μB)μB ∂ = - N----------------= - N μB ---tanh(βμB ) = ∂T 2cosh(βμB ) ∂T 2 = - N μB----(- μB-)----= N kB--(βμB-)-- kBT2 cosh2(βμB ) cosh2(βμB)

-CV-
012345000000βN.....μk12345BB

Esercizio 5.4 (Kennett)

La pressione sul monte Everest é P_Ev = 1
3 P_atm con P_atm = 101.3kPa e la temperatura é T_Ev ≃ 243K. Calcolare il libero cammino medio.

Dalla teoria é nota la formula per il libero cammino medio

l = -1--- nπd2

Dato che sempre di aria si tratta (sia sull’Everest che al livello del mare) e che non sappiamo d, risulta piú comodo trovare

lEv natm l---= -n-- atm Ev

Essendo l’aria in buona approssimazione un gas perfetto si puó scrivere la densitá come n = kPT-
B e, inserendo il tutto nella relazione precedente (assumendo T_atm ≃ 300K)

-lEv-= TEvPatm-= 3 TEv = 2.67 latm TatmPEv Tatm

Dalla teoria é noto l_atm ≃ 1μm quindi l_Ev ≃ 2.67μm

Esercizio 5.5 (Kennett)

Nello spazio intersetllare sono presenti giganti nubi di idrogeno molecolare (lunghezza di legame 0.74 × 10^-10m). Sapendo che la massa di una nube é m ~ 4 × 10⁴⁵kg, il diametro é D ~ 1.42 × 10¹⁸m e la temperatura é T ~ 10K calcolare il libero cammino medio e il tempo di collisione medio.

Calcolando il volume della nube

( )3 V = 4π D- = πD3 3 2 6

e il numero di molecole N = -A--
2NA si ottiene

V D3 l =----2 = -----2 = 7.24× 1011m N πd 3NAd

Il tempo di collisione analogamente é

∘ ------ ∘ -------- --m-- ---A---- 10 τ = 3kBT l = l 3NAkBT = 6.48× 10 s

Esercizio 6.4 (Kennett)

Calcolare U e C_V per un sistema a due livelli popolato da bosoni.

Dalla teoria é nota la

∏ [ ] Ξb = ----1β(μ--ϵ) s 1- e s

Assumiamo i due livelli energetici come

{ ϵ0 = 0 ϵ1 = ϵ

e in questo caso la funzione di partizione gran canonica diviene

Ξ = -----βμ--1--β(μ-ϵ)- (1- e )(1 - e )

Dalla definizione di energia interna si puó utilizzare il trucco di Feynman

1 ∑∞ N∑ β(Nμ-sϵ) U = Ξ- sϵe = N=0 s 1-ϵ∑∞ ∑N ∂- β(Nμ-sϵ) = - Ξβ ∂ϵe = N=0 s 1-ϵ-∂ ∞∑ ∑N β(Nμ-sϵ) = - Ξβ ∂ϵ e = N=0 s = - 1-ϵ∂Ξ-= Ξβ ∂ϵ = - ϵ∂-ln-Ξ β ∂ϵ

Possiamo ora calcolare l’energia interna

U = - ϵ-∂lnΞ-= β ∂ϵ ϵ∂ ln(1- eβμ)(1- eβ(μ-ϵ)) = β----------∂ϵ----------= β(μ-ϵ) = ϵ∂-ln(1--e-----) = β ∂ϵ ϵ--βeβ(μ-ϵ)-- = β(1- eβ(μ-ϵ)) = eβ(μ-ϵ) = ϵ-----β(μ-ϵ) = (1 - eϵ ) = -β(ϵ-μ)---- e - 1

0011200112TU.5.5.5.5
ϵ

Per la capacitá termica é sufficiente utilizzare la relazione

∂U- CV = ∂T = ( ) -----ϵ------ϵ--μ- -1- β(ϵ-μ) = - (eβ(ϵ- μ) - 1)2 kB -T 2 e = k β2ϵ(ϵ- μ) = --β(ϵ-μB)---------β(μ-ϵ)- (e - 1)(1 - e )

-CV
00112000001Tk......B552468ϵ

Esercizio 9.5 (Kennett)

(a) Mostrare che la funzione di partizione gran canonica per la radiazione di corpo nero assume la forma

∏ ----1--- Ξ = 1 - e-βϵs s

(1)

La radiazione di corpo nero é costituita da fotoni, ossia bosoni. Dalla teoria (vista in classe) é nota la funzione di partizione gran canonica bosonica:

∏ 1 Ξb = ----β(μ--ϵs) s 1- e

Osservando ora come si possano aggiungere/rimuovere fotoni ad un corpo nero senza alcun costo energetico (μ = 0) la 1 diviene ovvia.

(b) Usando l’equazione 1 oppure in altro modo si dimostri che l’entropia per unitá di volume della radiazione di corpo nero a temperatura T assume la forma

4π2k4BT-3 s = 45ℏ3c3

(2)

Richiamiamo ora l’energia per unitá di volume della radiazione di corpo nero (eq. 9.20 Kennett)

π2(k T )4 u = ----B-3-- 15 (ℏc)

e anche la sua pressione (eq. 9.29 Kennett)

P = u- 3

Richiamando ora la relazione termodinamica

U = T S - P V - μN

(3)

ponendo μ = 0 (vedi punto a) e dividendo per il volume V , si ottiene

s = u-+-P T

che unita alle precedenti conclude la dimostrazione

u+--u3 4u- 4π2k4BT-3- s = s = T = 3T = 45ℏ3c3

Esercizio 9.9 (Kennett)

Calcolare la temperatura critica per un BEC in 2 dimensioni.

Richiamiamo ora la densitá degli stati 2D calcolata in precedenza:

m 2 g(ϵ) = gs2πℏ2L

Possiamo calcolare il numero medio di particelle con la classica formula

∫ ∞ N = g(ϵ)f(ϵ)dϵ 0

la quale, posto n = N-
L2 diventa

m ∫ ∞ 1 n = gs2πℏ2 eβ(ϵ-μ) --1dϵ 0

Per la temperatura critica si ha e^β₀ >> 1 e si puó approssimare

∫ ∞ n ≈ g-m-- e-β(ϵ-μ)dϵ s2πℏ2 0

la cui soluzione é

mkB- n = gs2πℏ2T0

Invertendo l’equazione precedente si ottiene la relazione desiderata

2πℏ2 n T0 =---- -- mkB gs

Esercizio 1 (esame del 13/01/2022)

(a) Calcolare la capacitá termica C_V per un sistema di N oscillatori armonici distinguibili, ciascuno con energia ϵ_s = ( )
n + 12 ℏω studiandone i limiti a basse (k_BT << ℏω) e alte (k_BT >> ℏω) temperature.

Si puó subito calcolare la funzione di partizione dalla definizione

∑ -βϵs ∑∞ -βℏω(n+12) Z1 = e = e = s ∞ n=0 -βℏω = e-βℏ2ω∑ e- βℏωn = - -e---2--- n=0 e-βℏω - 1 - βℏ2ω βℏ2ω = --e--βℏω-= -βeℏω---- 1- e e - 1

Richiamiamo ora la formula per l’energia interna

∂ ln(ZN ) ∂ [ ℏω ] U = - ---∂β1--= - N ∂β-ln(eβ2 )- ln(eβℏω - 1) = [ ] = - N ∂-- βℏω-- ln(eβℏω - 1) = ∂[β 2 ] ℏω- -ℏωeβℏω- = - N 2 - eβℏω - 1 = [1 eβℏω ] = - N ℏω - - -βℏω---- = [ 2 e - 1] = N ℏω ----1----- 1 1- e-βℏω 2

Da qui é possibile ricavare la capacitá termica

[ ] C = ∂U- = Nℏω -∂- ----1----- 1 = V ∂T ∂T 1 - e- βℏω 2 ( ℏω) ( -1) -βℏω = N ℏω---kB----T2--(--e----)= (1- e-βℏω)2 NkB (β ℏω)2(e-βℏω) = - ---(1---e--βℏω-)2----= 2 = --βℏNω-kB(βℏω-)-βℏω- (e - 1)(1- e )

CV--
024681000001βN0.2.4.6.8ℏkωB

(b) Paragonare graficamente il risultato ottenuto con il caso del sistema a due livelli (con energie ϵ₁ = - ℏω3 e ϵ₂ = ℏω-
3 ) evidenziandone analogie e differenze.

Analogamente a prima

βℏ3ω -βℏω3 ℏω- Z1 = e + e = 2coshβ 3

L’energia interna viene

ℏω- ℏω- U = - N 3 tanhβ 3

e di conseguenza la capacitá termica

( ℏω)2 CV = N kB --β3----- cosh2β ℏ3ω

024680000βN.2.4.6ℏCkωV-
B

(c) Opzionale Interpretare l’andamento alle alte T attraverso il teorema dell’equipartizione dell’energia.

Avendo N oscillatori armonici con 2 gradi di libertá quadratici ciascuno con contributo 1
2 k_BT ritroviamo la capacitá termica a Nk_B.

Esercizio 2 (esame del 13/01/2022)

(a) Calcolare l’entropia S per un sistema di N oscillatori armonici distinguibili, spiegando perché allo zero assoluto (T = 0) S = 0 e studiandone l’andamento (e la dipendenza da T) alle alte T.

Dalla teoria usiamo la formula dell’entropia

[ ] S = - ∂F = NkB -∂-T lneβℏω2 - ln(eβℏω - 1) = ∂T [ ∂T ] = NkB -∂-T β ℏω-- ln(eβℏω - 1) = ∂T 2 = - N k-∂-[T ln(eβℏω - 1)] = B∂T ( ) ⌊ ℏω (--12) (eβℏω)⌋ = - N kB⌈ln(eβℏω - 1)+ T-kB---T--------⌉ = eβℏω - 1 [ βℏω ] = NkB ------βℏω-- ln(eβℏω - 1) 1 - e

05112230123T05050S--
NkB

Per T = 0, S = 0 in quanto avendo tutte le particelle allo stesso livello energetico ho solo una disposizione possibile S = k lnΩ = k ln1 = 0.

(b) Opzionale Stimare il numero di stati occupati ad alte temperature.

Non avendo restrizioni sul numero di oscillatori per livello energetico possiamo considerare questi come bosoni. Dalla teoria l’occupazione dei bosoni é data dalla

---1--- ⟨ns⟩b = eβϵs - 1

Inserendo nella formula precedente l’espressione dell’energia fornita nell’esercizio 1 e facendo il limite per alte temperature si trova

⟨ns⟩ = -----1------≈ -------(1---)----= eβℏω(s+12) - 1 1+ β ℏω s+ 12 - 1 ----1----- ---kBT--- = βℏω(s + 1) = ℏ ω(s+ 1) 2 2

(c) Paragonare graficamente il risultato ottenuto con il caso di un gas di molecole diatomiche. Per il calcolo dell’entropia del gas di molecole diatomiche considerare solo i contributi dovuti al moto traslazionale (Z_t) e rotazionale (Z_r), considerando che per temperature superiori alla temperatura caratteristica del moto rotazionale θ_r la funzione Z_r si puó approssimare a T-
θr .

Ricaviamo innanzitutto la funzione di partizione

T Z = ZtZr = nQV θr-

Analogamente al punto precedente

[ ( )] S = - ∂F-≈ N kB-∂- T lnnQV T-- ln(N )+ 1 = ∂T [ (∂T θr)] = N k -∂- T ln nQ-+ ln T-+ 1 = B∂T n θr ( nQ T ) (3 1 1 ) = N kB ln -n-+ ln θ-+ 1 + N kBT 2 T-+ T- = ( r ) = N kB ln nQ-+ ln T-+ 7 n θr 2

-S--
00112-051TN..0k555B