Esercizio 1 (esame del 09/01/2017)

Una molecola di idrogeno ionizzata puó essere descritta come un sistema unidimensionale formato da un singolo elettrone soggetto al potenziale

ove a > 0 é la semidistanza dei due protoni pensati fissi e Ω > 0 ha le dimensioni di una lunghezza inversa. Trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’energia dello spettro discreto.

Scriviamo subito l’equazione di Schroedinger

La soluzione é nota

Notiamo che il potenziale ha partitá definita U(-x) = U(x) allora possiamo imporre la condizione Φ^±(-x) = ±Φ^±(x), ottenendo

La funzione assume ora la forma piú semplice

con

Notiamo peró che lo spettro discreto si avrá per w < 0, quindi k = i, ma la funzione d’onda non puó esplodere all’infinito, quindi necessariamente si avrá B^± = 0 e, riscalando A^± = A^±e^-ika

Ora imponiamo la continuitá della funzione e della sua derivata

Si puó riscrivere il tutto nella forma

Dividendo la seconda per la prima si ottiene

Si ottengono le equazioni

ognuna delle quali mi fornisce una soluzione unica quindi ho due soli livelli energetici corrispondenti ai valori di ₀^±.

Esercizio 1 (esame del 19/06/2017)

Trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’energia di una particelle unidimensionale confinata nell’intervallo 0 ≤ x ≤ a e soggetta al potenziale

ove U₀≠0 é una costante con le dimensioni dell’energia.

Suggerimento: Non tentare di risolvere l’equazione trascendente degli autovalori.

Scriviamo subito l’equazione di Schroedinger

la cui soluzione generale é (con k′² = k² -U₀)

Condizione al bordo Φ(0) = 0 che implica B = 0. Condizione al bordo Φ(a) = 0 che implica C sin(k′a) + D cos(k′a) = 0. Poniamo quindi

e possiamo riscrivere la soluzione come

Continuitá della funzione (ponendo x_k = e x_k′ = ):

Continuitá della derivata:

Dividendo la prima per la seconda si trova l’equazione agli autovalori

che fornisce valori k_n per lo spettro discreto w_n = k_n², come previsto dal TSS. La soluzione é quindi (con un k_n qualsiasi)

Nel caso in cui si abbia U₀ < 0, k = i immaginario puro (con ∈ℝ) per w < 0. L’equazione agli autovalori diventa quindi

L’equazione é trascendente e possiamo ordinare le soluzioni k_n anche in questo caso (spettro discreto non degenere). In entrambi i casi si avrá uno spettro continuo non degenere per E ± U₀ ≥ 0.

Esercizio 1 (esame del 03/07/2017)

Una particlella é confinata in una regione sferica di raggio R ed é soggetta ad un campo di forza centrale con potenziale

ove U₀ > 0 é una costante con le dimensioni di un’energia. Calcolare gli autovalori e le autofunzioni dell’energia della particella. Suggerimento: Derivare ma non tentare di risolvere l’equazione agli autovalori trascendente.

Per il TSS notiamo subito come tutto lo spettro energetico sia discreto non degenere.
Scriviamo subito l’equazione di Schroedinger radiale

la cui soluzione é

con k′² = k² -U₀ Condizione al bordo χ(0) = 0 quindi B = 0. Continuitá della funzione

Ponendo x_k = , x_k′ = , C = En_l(2x_k′) e D = -Ej_l(2x_k′) si ottengono le autofunzioni energetiche

Continuitá della derivata

I k_n sono forniti quindi dal sistema di equazioni (risolvibile)

quindi gli autovalori dell’energia sono semplicemente w_n = k_n².

Esercizio 1 (esame del 15/01/2018)

Una particella di massa m é confinata nello semispazio unidimensionale x ≥ 0 ed é soggetta al potenziale

ove a > 0 e Ω≠0 sono costanti con le dimensioni di una lunghezza ed una lunghezza inversa, rispettivamente. Trovare gli autovalori e le autofunzioni della energia.

Scriviamo subito l’equazione di Schroedinger

La soluzione generica é

Condizioni al bordo Φ(0) = 0 quindi B = 0. Imponiamo ora la continuitá

Facendo qualche conto si ottiene l’equazione agli autovalori (Ω > 0)

Che fornisce valori continui di k come previsto dal TSS (spettro continuo non degenere).

Considerando ora il caso in cui Ω < 0 notiamo che é possibile avere w < 0 quindi k = i. La funzione d’onda deve essere limitata all’infinito quindi necessariamente si deve avere D = 0. L’equazione agli autovalori diviene

trascendente, che fornisce l’unico valore discreto . Lo spettro energetico in questo caso é discreto non degenere per w < 0 (con un unico livello) e continuo non degenere altrimenti, come previsto dal TSS.
L’autofunzione energetica nello spettro discreto é

con corrispondente autovalore w = ².

Esercizio 2 (esame del 18/06/2019)

Trovare le espressioni dei coefficienti di riflessione e trasmissione della barriera di potenziale unidimensionale

ove a > 0 e Ω > 0 sono costanti con le dimensioni di una lunghezza ed una lunghezza inversa, rispettivamente.

Supponiamo una soluzione del tipo

Impongo la continuitá della funzione

e la continuitá della derivata prima

Usando le precedenti relazioni é possibile ricavare i coefficienti

Esercizio 1 (esame del 08/11/2019)

Una particlella é soggetta ad un campo di forza centrale di tipo armonico

ove U₀ > 0 e a sono costanti con le dimensioni di un’energia e una lunghezza, rispettivamente. Calcolare gli autovalori e le autofunzioni dell’energia per il numero quantico orbitale l = 0.

L’equazione di Schroedinger diventa

conviene porre l = , k²l² = 2n + 1 e x = ottenendo

Studiamo l’equazione asintotica per x →∞

che ha come soluzione

La soluzione generale sará un’equazione del tipo

dove H(x) é determinata dalla

ed é quindi un polinomio di Hermite

Notiamo ora che la nostra funzione d’onda deve annullarsi in zero, quindi necessariamente si deve avere n dispari. Conviene ora riscalare n → 2n + 1 e scrivere le autofunzioni energetiche

Gli autovalori dell’energia saranno quindi

Esercizio 1 (esame del 08/01/2020)

Trovare gli autovalori ed autofunzioni dell’energia di una particella confinata nella regione unidimensionale 0 < x < ∞ e soggetta al potenziale

con

ove a > 0, Ω < 0 and U₀ < 0 sono costanti con le dimensioni di una lunghezza, lunghezza inversa ed energia, rispettivamente. Suggerimento: Non tentare di risolvere l’equazione trascendente degli autovalori.

Scriviamo l’equazione di Schroedinger

e supponiamo una soluzione generale del tipo (con k′² = k² -U₀)

La funzione deve annullarsi nell’origine, quindi B = 0. Imponiamo ora la continuitá della funzione

e della derivata

Da cui si ricava l’equazione agli autovalori

che fornisce le soluzioni per lo spettro continuo w ≥ 0.

Poniamoci ora nel caso w < 0, ossia quando k = i. L’equazione agli autovalori diventa

che, essendo trascendente, fornisce soluzioni discrete _n come previsto dal TSS.

Esercizio 1 (esame del 14/01/2022)

Una particella é confinata in un intervallo spaziale di raggio R ed é soggetta ad un campo di forza centrale con potenziale

dove Ω≠0 é una costante con le dimensioni di una lunghezza inversa. Calcolare gli autovalori e le autofunzioni dell’energia della particella.

Equazione di Schroedinger

con soluzione generica

Poniamo ora x = . Condizione al contorno χ(0) = 0 implica B = 0. Condizione al contorno χ(R) = 0 implica Cj_l(2x) + Dn_l(2x) = 0. Poniamo quindi

e la funzione diventa

Continuitá della funzione:

Continuitá della derivata:

Si ottiene quindi il sistema risolvibile

che fornisce soluzioni k_n ordinate per lo spettro energetico discreto ad autovalori w_n = k_n².