Analisi 1

Teorema 1.1 (Unicitá del limite). Sia αβ ∈ℝ.

Se an -→ α,an -→ β =⇒ α = β

Teorema 1.2 (TLS Limiti delle sottosuccessioni). Sia α ∈ℝ.

Se an -→ α = ⇒ ∀(ak)n s.s di an si ha (ak)n -→ α

Teorema 1.3 (TPS Permanenza del segno). Siano (a_n)(b_n) s. in ℝ ab ∈ℝ.

Se an -→ abn -→ ban ≤ bn ∀n ∈ ℕ = ⇒ a ≤ b

Teorema 1.4 (T2C Due carabinieri). Siano (a_n)(b_n)(c_n) s. in ℝ λ ∈ℝ.

Se an -→ λbn -→ λ an ≤ bn ≤ cn ∀n ∈ ℕ =⇒ bn -→ λ

Teorema 1.5 (TSM Successioni monotone).

Se (a_n) ↗	∃lim_n→∞a_n = sup_n∈ℕ(a_n)
Se (a_n) ↘	∃lim_n→∞a_n = inf _n∈ℕ(a_n)

Teorema 1.6 (Criterio del rapporto). Sia a_n > 0 s. in ℝ an+1
an λ ∈ℝ.

Se λ > 1	a_n + ∞
Se λ < 1	a_n0

Teorema 1.7 (CSE Continuitá sequenziale dell’esponenziale). Sia x_n s. in ℝ.

xn x0 Se xn -→ x0 ∈ ℝ =⇒ e -→ e

Teorema 1.8 (CSL Continuitá sequenziale del logaritmo). Sia x_n s. in ℝ.

Se xn -→ x0 ∈ ℝ =⇒ loga(xn) -→ loga(x0)

Teorema 1.9 (Criterio di Cesaro). Siano a_n b_n s. in ℝ b_n ↗ s.b_n + ∞.

an+1 --an -- an- Se ∃nli→m∞ bn+1 - bn = λ ∈ ℝ =⇒ lni→m∞ bn = λ

Teorema 2.1 (Unicitá del limite).

Se f(x) ---→ λ f(x) ---→ μ =⇒ λ = μ x→ α x→ α

Teorema 2.2 (TLR Limite delle restrizioni). Sia B ⊆ Aα ∈ D(B).

Se f(x) ---→ λ =⇒ f|B(x) ---→ λ x→ α x→α

dove f|_B : B →ℝ^M f|_B(x) := f(x)

Teorema 2.3 (CSL Caratterizzazione sequenziale del limite).

f(x) ---→ λ ⇐⇒ f(xn) -→ λ ∀(xn) s. in A \ αxn → α x→α

Teorema 2.4 (TLM Limite delle funzioni monotone). Sia x₀ ∈ℝ^M f ↗

Se x₀ ∈ D(A_x₀^-)	f(x) sup_{A_x₀^-}f
Se x₀ ∈ D(A_x₀⁺)	f(x) inf _{A_x₀^-}f
Se + ∞∈ D(A)	f(x)sup_Af
Se -∞∈ D(A)	f(x)inf _Af

dove A_x₀^- := A ∩ ]-∞,x₀[A_x₀⁺ := A ∩ ]x₀,+∞[. Un risultato analogo vale per f ↘

Teorema 3.1 (CSC Caratterizzazione sequenziale della continuitá). Sia x₀ ∈ A. Siano A ⊆ ℝ^N f : A →ℝ^M x₀ ∈ A.

f é continua in x0 ⇐ ⇒ f(xn ) -→ f(x0) ∀xn → x0

Teorema 3.2 (Bolzano). Siano ab ∈ℝ con a < bf ∈ C([a,b],ℝ).

Se f(a)f(b) ≤ 0 =⇒ ∃x0 ∈ [a,b] : f(x0) = 0

Teorema 3.3 (TVI Valore intermedio). Sia f ∈ C(I,ℝ).

Dato y ∈ℝ : f(a) < f(y) < f(b)	∃x₀ ∈ I : f(x₀) = y
f(I)	é un intervallo

Teorema 3.4. Sia f ∈ C(I,ℝ)f 1-1, posto J = f(I). Allora

	J é un intervallo, fJ
	f^-1 ∈ C(J)

Teorema 3.5 (Weierstrass). Sia A ∈ℝ chiuso e limitato, f ∈ C(A,ℝ) ∃max_Af ∃min_Af

Teorema 4.1 (Fermat). Sia f : A →ℝ x₀ ∈A∘f′(x₀) ∈ℝ.

Se x é un p.to estremante locale =⇒ f′(x ) = 0 0 0

Teorema 4.2 (Rolle). Siano a,b ∈ℝ a < bf ∈ C([a,b],ℝ)f derivabile in ]a,b[.

Se f (a) = f(b) =⇒ ∃x0 ∈ ]a,b[ : f′(x0) = 0

Teorema 4.3 (TVML Valor medio di Lagrange). Siano a,b ∈ ℝ a < bf ∈ C([a,b],ℝ)f derivabile in ]a,b[.

′ f(b)--f(a)- Allora ∃x0 ∈ ]a,b[ : f(x0) = b- a

Teorema 4.4 (TM Test monotonia). Sia I un intervallo su ℝ, f : I →ℝ derivabile in I.

f′(x) = 0 ∀x ∈ I	⇐⇒ f é costante in I	(1)
f′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I	⇐⇒ f ↗	(2)
f′(x) > 0 ∀x ∈ I	f ↗ s.	(3)
f ↗ s.	⇐⇒	(4)

Teorema 4.5 (Taylor con resto di Peano). Siano I intervallo di ℝ x₀ ∈ I f derivabile n volte in x₀. Allora

∑n f(k)(x - x0)k n f (x) = -----k!-----+ o((x - x0) )x→x0 k=0

Teorema 4.6 (Tayor con resto di Lagrange). Siano I intervallo aperto di ℝ x₀ ∈ I f derivabile n volte in x₀. Allora ∀x ∈ I ∃y_x ∈ (x₀,x) tale che

(n) f(x) = Tn- 1(x)+ f--(yx)(x - x0)n n!

Teorema 4.7 (TH De l’Hópital). Siano I intervallo di ℝ x₀ ∈ D(I)f,g : I \{x₀} → ℝ derivabili in I \{x₀} con g′(x)≠0 ∀x ∈ I \{x₀}. f(x)g(x) --x-→x-→
0 0 o |g(x)| --x→-x-→
0 + ∞. Allora

′ -- se f-(x)----→ λ ∈ ℝ =⇒ f(x) ----→ λ g′(x) x→x0 g(x) x→x0

Teorema 4.8. Sia I intervallo non banale di ℝ f : I →ℝ derivabile in I. Allora f é convessa ⇐⇒ f′↗

Teorema 4.9. Sia f : I →ℝ derivabile due volte in I. Allora f é convessa ⇐⇒ f′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I

Teorema 4.10. Sia f ∈ Cⁿ⁺¹(I,ℝ), x₀ ∈I∘ con f^(k)(x₀) = 0 per k ≤ n e f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)≠0. Allora

	x₀ é un punto di massimo locale forte di f se (n+1) é pari e f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0
	x₀ é un punto di minimo locale forte di f se (n+1) é pari e f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0
	x₀ non é un punto estremante se (n+1) é dispari

Teorema 5.1. Sia f : [a,b] →ℝ limitata e c ∈ ]a,b[.

Se f ∈ C([a,b],ℝ)	f ∈ R_[a,b]
Se f é monotona	f ∈ R_[a,b]
{x ∈ [a,b]∕f non é continua in x}é finito	f ∈ R_[a,b]
f ∈ R_[a,c] f ∈ R_[c,b]	⇐⇒ f ∈ R_[a,b]

Teorema 5.2. Siano f,g ∈ R_[a,b]. Allora

Se f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a,b]	∫ _a^bf(x)dx ≤∫ _a^bg(x)dx
	≤

Teorema 5.3 (1TFC Primo teorema fondamentale del calcolo). Siano f ∈ R_[a,b] F(X) = ∫ _a^xf(t)dt : [a,b] →ℝ. Allora

F	∈ C([a,b],ℝ)
Se f é continua in x₀	f(x₀) = F′(x₀)

Teorema 5.4 (2TFC Secondo teorema fondamentale del calcolo). SIano f ∈ R_[a,b] e Φ una primitiva di f. Allora

∫ b f(t)dt = [Φ(t)]b = Φ(b) - Φ(a) a a

Teorema 5.5 (Taylor con resto integrale). Sia f ∈ Cⁿ⁺¹([a,b],ℝ)x₀ ∈ [a,b]. Allora

∫ 1- x n (n+1) f(x) = Tn(x)+ n! x0(x - t) f (t)dt

Teorema 6.1 (C∃ Criterio di esistenza).

∫ β Se f(x) ≥ 0 ∀x ∈[a,β[ =⇒ ∃ f(x )dx ∈ [0,+∞ ] a

Teorema 6.2 (CC Criterio del confronto). Sia f(x) ≥ 0g(x) ≥ 0∀x ∈[a,β[.

∫ β ∫ β Se f(x) = Ox →β- (g(x)) g ∈ ℝ =⇒ f ∈ ℝ a a

Teorema 6.3 (CCA Criterio di convergenza assoluta).

∫ β ∫ β Se |f| ∈ ℝ =⇒ ∃ f ∈ ℝ a a

Teorema 6.4 (CFO Criterio delle funzioni oscillanti). Sia f ∈ C([a,β[,ℝ) : f abbia una primitiva limitata in [a,β[, g ∈ C¹([a,β[,ℝ) : g ↘_x→β^-0. Allora