Foglio per esame scritto di Analisi 1

Niccoló Zanotti

5 dicembre 2024

Successioni in ℝ

Criterio. Del rapporto

Sia {a_n}una successione in ℝ⁺, ed esista lim_n→∞ an+1
an . Allora se

lim_n→∞ < 1, allora a_n → 0;
lim_n→∞ > 1, allora a_n → +∞;

Criterio.

Siano α,β ∈ℝ⁺ e sia {a_n}una successione in ℝ. Allora se

α ≤ an ≤ β ∀n ∈ ℕ = ⇒ √nan-→ 1 per n → +∞

Inoltre se

√--- an → λ ∈ ℝ+ =⇒ nan → 1

Criterio.

Sia {a_n}una successione in ℝ. Allora se

a1 + a2 + ...+ an an → λ ∈ ¯R =⇒ ------n--------→ λ

Criterio.

Sia {a_n}una successione in ℝ. Allora se

¯ an- an+1 - an → λ ∈ R =⇒ n → λ

Criterio.

Sia {a_n}una successione in ℝ⁺. Allora se

an+1 ¯ √n--- an → λ ∈ R =⇒ an → λ

Approssimazione di Stirling

n -n√ ---- n! ~ n e 2πn

1 √ --- log(n!) = nlog(n)- n + 2log(n)+ log( 2π)+ o(1)

Serie numeriche in ℝ

Serie notevole. Geometrica

(| converge se |c| < 1, s = -1- ∞∑ ||{ n 1-c cn diverge se c ≥ 1 n=0 |||( indeterminata se c ≤ - 1

Serie notevole. Armonica Generalizzata

( ∑∞ 1 |{ converge se α > 1 nα| diverge se α ≤ 1 α ∈ ℝ n=1 (

Serie notevole. Di Abel o Armonica Generalizzata di tipo 2

( ∞ |||{ converge se α > 1 ∧ ∀β ∑ ----1---- converge se α > 1 ∨ α = 1 ∧β > 1 α,β ∈ ℝ n=2 nαlogβ(n)||| diverge se α < 1 ∨α = 1 ∧ β ≤ 1 (

Criterio. Del confronto

Siano ∑ a_k e ∑ b_k due serie a termini in ℝ⁺ tali che

0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ ℕ

Allora:

∑ b_k convergente ∑ a_k convergente;
∑ a_k divergente ∑ b_k divergente.

Criterio. Del confronto asintontico

Siano ∑ a_k e ∑ b_k due serie a termini in ℝ⁺. Allora se

an ~ bn =⇒ an e bn hanno lo stesso carattere

Criterio. Della radice

Sia ∑ a_n una serie a termini in ℝ₀⁺. Allora se esiste lim_n→∞ n√an-- = λ

λ > 1a_n convergente;
λ < 1a_n divergente;

Criterio. Di Leibniz

Sia ∑ (-1)ⁿa_n una serie a termini di segno alterno. Allora se

a_n+1 < a_n (a_n é definitivamente decrescente);
a_n → 0 (a_n é infinitesima);

la serie é convergente.

Criterio. Di condensazione(Cauchy)

Sia {a_n}una successione a termini in ℝ⁺.Allora se

a_n+1 < a_n (a_n é definitivamente decrescente);
a_n → 0 (a_n é infinitesima);

∑ ∑ an converge ⇐⇒ 2na2n converge.

Criterio. Del rapporto

Sia ∑ a_n una serie a termini in ℝ⁺ tale che esista lim_n→∞ an+1-
an = λ. Allora se

λ > 1la serie non é convergente;
λ < 1la serie é convergente.

Criterio. Di Raabe

Sia ∑ a_n una serie a termini in ℝ⁺ tale che

a α 1 -n+1= 1 - --+ o(-) ,α ∈ ℝ per n → +∞ an n n

Allora se

α > 1la serie é convergente;
α < 1la serie non é convergente.

Criterio. Di Dirichlet

Siano {α_n}una successione in ℂ e {β_n}una successione in ℝ⁺ tali che

∑ α_n é limitata;
{β_n}é monotona descrescente ed infinitesima.

Allora la serie ∑ α_nβ_n é convergente.

Sviluppi di MacLaurin delle principali funzioni

Resto in forma di Peano

∞ k 2 3 n ex = ∑ x-= 1 + x+ x- + x- +...+ x-+ o(xn) k=0 k! 2 3! n!

∞ sin(x) = ∑ (--1)kx2k+1 = x- x3 + x5 + ...+ x2n+1+ o(x2n+2) k=0 (2k + 1)! 3! 5! n!

∞∑ (- 1)kx2k x2 x4 (- 1)nx2n 2n+1 cos(x) = (2k)! = 1 - 2 + 4! + ...+ n! + o(x ) k=0

x3 2- 5 6 π- tg(x) = x + 3 + 15x + o(x ) per |x| < 2

∑∞ (--1)kx2k+1 x3 x5 x7 (--1)nx2n+1- 2n+2 arctg(x) = 2k+ 1 = x- 3 + 5 - 7 + ...+ 2n+ 1 + o(x ) k=0

∑∞ --(2k)! x2k+1-- x3 3x5 5x7 --(2n)! x2n+1- 2n+1 arcsin(x) = 22k(k!)2(2k+ 1) = x+ 6 + 40 + 112 + ...+ 22n(n!)2(2n+ 1) + o(x ) per |x| < 1 k=0

∞∑ 2k+1 3 5 2n+1 sinh (x ) = -x------= x + x-+ x-+ ...+ x---- + o(x2n+2) k=0(2k+ 1)! 3! 5! n!

∑∞ 2k 2 4 2n cosh(x) = x----= 1+ x- + x-+ ...+ x-- + o(x2n+1) k=0 (2k )! 2 4! n!

∑∞ k+1 k 2 3 4 n+1 n log(1+ x) = (--1)--x--= x - x-+ x-- x- + ...+ (- 1)--x--+o(xn) per|x| < 1 k=0 k 2 3 4 n

∞∑ ( ) ( ) (1+ x)α = α xk = 1 + αx+ α(α--1)x2 + α(α---1)(α---2)x3 + ...+ α xn + o(xn) per|x| < 1 k=0 k 2 3! n

( ) ( ) √----- 1∕2 ∑∞ α k x- x2 1- 3 12 n n 1 + x = (1+ x) = k x = 1+ 2 - 8 + 16x + ...+ n x + o(x ) k=0

Resto in forma O(·) utile per serie numeriche

∑∞ xk x2 x3 xn ex = -k! = 1+ x +-2 + 3! + ...+-n! + O (xn+1) k=0

∞∑ k 2k+1 3 5 2n+1 sin(x ) = (- 1)-x---= x - x- + x-+ ...+ x---- + O(x2n+3) k=0 (2k+ 1)! 3! 5! n!

∞ k 2k 2 4 n 2n cos(x) = ∑ (--1)x---= 1- x-+ x- + ...+ (- 1)-x-+ O (x2n+2) k=0 (2k)! 2 4! n!

3 tg(x) = x + x-+ 2-x5 + O(x7) per |x| < π- 3 15 2

∞∑ (- 1)kx2k+1 x3 x5 x7 (- 1)nx2n+1 arctg(x ) = ----------= x - -- + --- --+ ...+ ---------- + O(x2n+3) k=0 2k + 1 3 5 7 2n + 1

∑∞ (2k)! x2k+1 x3 3x5 5x7 (2n)! x2n+1 arcsin(x) = 22k(k!)2(2k+-1)-= x+ -6 + -40 + 112 + ...+ 22n(n!)2(2n+-1) + O(x2n+2) per|x | < 1 k=0

∞∑ -x2k+1-- x3 x5 x2n+1 2n+3 sinh(x) = (2k+ 1)! = x+ 3! + 5! + ...+ n! + O (x ) k=0

∑∞ x2k x2 x4 x2n 2n+2 cosh(x) = (2k)! = 1 + 2-+-4! + ...+-n! + O(x ) k=0

∞∑ (- 1)k+1xk x2 x3 x4 (- 1)n+1xn log(1+ x) = --------- = x- -- + -- - --+ ...+ ----------+ O(xn+1) per |x | < 1 k=0 k 2 3 4 n

∑∞ (α) α (α - 1) α(α - 1)(α - 2) (α) (1+ x)α = k xk = 1 +αx +---2----x2 +------3!------x3 + ...+ n xn + O (xn+1) per|x| < 1 k=0

----- ∞∑ ( ) 2 (1) √ 1+ x = (1+ x)1∕2 = α xk = 1 + x-- x-+-1 x3 + ...+ 2 xn + O (xn+1) k=0 k 2 8 16 n

Integrali in ℝ

Integrale notevole. Per integrazione di funzioni razionali

∫ -----dx----- -1 ax+-b- (ax + b)2 + c2 = bcarctg( c )+ c

Integrali notevoli. Funzioni goniometriche al quadrato

∫ 2 x--sin(x)cos(x-) sin (x)dx = 2

∫ cos2(x)dx = x+-sin(x)cos(x) 2

Integrale notevole. dalle sostituzioni iperboliche

∫ 1 ∘ ------- x √-2---2-dx = log(x+ x2 + a2)+ C = Settsinh(-)+ C x +a a

Integrali notevoli. Delle funzioni iperboliche

∫ ∫ sinh cx dx = 1cosh cx coshcx dx = 1 sinh cx c c

∫ 2 1 x ∫ 2 1 x sinh cxdx = 4csinh2cx- 2- cosh cxdx = 4csinh2cx + 2-

∫ ∫ --dx---= 1 log(tanh(cx)) o --dx---= 1log(cosh-cx--1) sinh cx c 2 sinhcx c cosh cx- 1

∫ dx 2 ------ = -arctg(ecx) coshcx c

Tecnica di integrazione. Funzioni razionali composte da funzioni goniometriche di grado 1

Integrali del tipo:

∫ R (sinx,cosx)dx

si razionalizzano con la sostituzione t = tg( x
2 ) e si sfruttano le formule parametriche di sinx e cosx:

1- tg2(x) 2tg(x) cosx = -----2-2x- sinx = -----22x- 1+ tg (2) 1 + tg (2)

x- 1--t2 --2t- -2dt- t = tg(2 ) → cosx = 1+ t2 sinx = 1 + t2 x = 2arctg(t) dx = t2 + 1

Riconducendosi ad un integrale del tipo:

∫ 2 R (-2t2-, 1--t2)-22dt 1+ t 1+ t t + 1

Tecnica di integrazione. Funzioni razionali composte da funzioni goniometriche di grado 2

Integrali del tipo:

∫ R (sin2x,cos2x,sinxcosx)dx

si razionalizzano con la sostituzione t = tg(x) e si sfruttano le formule parametriche :

1 t2 t dt t = tg(x) → cos2x =----2 sin2x = ----2 sinxcosx = ----2 dx = ----2 1 + t 1+ t 1 +t 1+ t

Riconducendosi ad un integrale del tipo:

∫ --t2- --1-- --t-- --dt- R(1 + t2 ,1+ t2,1+ t2)t2 + 1

Tecnica di integrazione.

Integrali del tipo

∫ ∘ ------- a2 - x2dx

si risolvono con la sostituzione

x = a sin(t) → t = arcsin(x) dx = cos(t)dt

Tecnica di integrazione. Sostituzioni iperboliche:1

Integrali del tipo

∫ ∘------- R (x, x2 + a2)dx

si razionalizzano con la sostituzione x = asinh(t), per cui:

∘ ------- x = asinh(t) dx = acosh(t) → x2 + a2 = acosh(t)

Tecnica di integrazione. Sostituzioni iperboliche:2

Integrali del tipo

∫ ∘------- R (x, x2 - a2)dx

si razionalizzano con la sostituzione x = acosh(t), per cui:

∘ ------- x = acosh(t) dx = asinh(t) → x2 - a2 = asinh (t)

Tecnica di integrazione. Funzioni razionali trascendenti

Integrali del tipo

∫ R (eax)dx

si razionalizzano con la sostituzione e^ax = t.

Tecnica di integrazione. Integrazione di funzioni irrazionale tipo 1

Integrali del tipo

∫ ax+-b-r1 ax-+-br2 ax-+-brn R(x,(cx+ d) ,(cx + d) ,...,(cx + d) )dx r1,r2,...,rn ∈ ℚ

dove R é una funzione razionale, si integrano tramite la sostituzione

tN = ax+-b- cx + d

dove N é il minimo comune multiplo dei denominatori dei numeri r₁,r₂,...,r_n.
Esempio:

∫ ∘ x+1- 1+-∘-x+2-dx, x+-1-= t6 1- 3x+1 x+ 2 x+2

Tecnica di integrazione. Sostituzioni di Euler

Integrali del tipo

∫ ∘ ----------- R(x,( ax2 + bx+ c)dx

dove R é una funzione razionale. Le sostituzioni dipendono dai tre casi:

a > 0

at2 ∘----------- √--at2 - bt+ c at2 - bt+ c x = ------ , ax2 + bx+ c = - a ----------, dx = - 2a-------2-dt b- 2at b- 2at (b- 2at)

∫ 2 2 - 2a R (-at---,- √a-(at---bt+-c))dt b- 2at b - 2at

Esempio:

∫ √ -2----- 2 ∫ 2 2 1+-√-x-+-3x-dx, x = --t-- =⇒ - 2 (t---3t2)(32-+t-- t-)-dt 2- x2 + 3x 3 - 2t (3- 2t) (t - 7t+ 6)

a < 0

2 ∘ ------- x = -1(α1---t2 - b) , α = b2 - 4ac , dx =---22αtdt2 2a 1 + t α(t + 1)

∫ 1- 1---t2 √----tα----- ---2αt--- =⇒ - R(2a(α1 + t2 - b), - a(1 +t2))⋅α (t2 + 1)2 dt

Esempio:

∫ √2x---x2-+x 1 - t2 2t2 ----√------2 dx a = - 1,b = 2,c = 0,α = 2 -→ x = 1---2 = ----2 2 - 2x - x 1 + t 1+ t

∫ 2 =⇒ ---4t(12+-t)2-2 dt (t- 1)(1 +t )

a = 0

L’integrale rientra nel caso trattato dalla tecnica precedente (funzioni irrazionali di tipo 1).

Equazioni differenziali

Lineari del I ordine

Omogenee Equazioni nella forma:

x′(t)+ a(t)y(t) = 0

hanno un integrale generale del tipo

∫ y = ce-A(t) dove A (t) = a(t)dt

Non omogenee Equazioni nella forma:

′ x(t)+ a(t)x(t) = f(t)

dove se a(t) = 0 l’equazioni differenziale é lineare, hanno una soluzione particolare x_p

∫ ∫ xp = e-A (t)( eA (t)f (t)dt) dove A (t) = a(t)dt

per cui l’integrale generale é

∫ ∫ -A(t) - A(t) A(t) -A(t) A(t) x (t) = ce + e ( e f(t)dt) = e (c+ ( e f(t)dt))

II ordine

Omogenee Equazioni nella forma:

ax′′(t)+ bx′(t)+ cx(t) = 0

L’insieme delle soluzioni é uno spazio vettoriale di dimensione 2. Per cui la soluzione generale sará

x(t) = c1x1(t)+ c2x2(t)

dove x₁(t) e x₂(t) sono basi dello spazio delle soluzioni e c₁,c₂ sono parametri liberi.
Si trovano le soluzioni dell’equazione caratteristica in ℂ:

az2 + bz + c = 0

Si hanno tre casi:

→ x(t) = c₁e^λ₁t + c₂e^λ₂t | Base: e^λ₁t,e^λ₂t
→ x(t) = c₁e^λt + c₂te^λt | Base: e^λt,te^λt
→ x(t) = c₁e^αtcos(βt) + c₂e^αtsin(βt) | Base: e^αtcos(βt),e^αtsin(βt)

Non omogenee:Variazione delle costanti Equazioni nella forma:

′′ ′ ax (t)+ bx (t)+ cx(t) = f(t)

1)Si determina la soluzione generale dell’omogenea associata:

x0(t) = c1x1(t)+ c2x2(t)

2) Si trova una soluzione particolare nella forma

xp(t) = c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)

Dal seguente sistema si ricavano le espressioni di c′₁(t),c′₂(t):

{ ′ ′ c1′(t)x1′(t)+ c2(′t)x2′(t) = 0 c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t) = f(t)

per poi trovare c₁(t),c₂(t) integrando:

∫ ∫ c1(t) = c′1(t)dt c2(t) = c′2(t)dt

3)La soluzione generale é

x(t) = x0(t)+ xp(t)