1 Capitolo 1:
Mezzi Continui e Struttura Molecolare

• ∇p = ρ Legge di equilibrio idrostatico

• pV = νRT Legge dei gas

• p = nmv_rms²

• v_rms =

• l = = Libero cammino medio

• F_v = V _v Deformazione pistone (f coefficiente di fluiditá, V _v velocitá di deformazione)

• η = lmv_rms = Viscositá dinamica [Pa s]

• τ = η Sforzo di taglio per fluidi newtoniani (empirica)

• = -k_T∇T Legge di Fourier

• = -k_T∇T = -v_rmslc∇T Legge Fourier per i gas (c calore specifico per molecola) da cui k_T = v_rmslc = v_rms ~ T

• ∇⋅ = -k_T∇²T

• = D_T∇²T con D _T diffusivitá termica D_T = con cui stimiamo il tempo caratteristico di conduzione τ_cond =

• = D_T∇²T = + ⋅∇T dove ⋅∇T é il termine avvettivo che ci permette di stimare il tempo caratteristico di avvezione τ_avv =

• = -D_F∇Φ Prima legge di Fick, J flusso di particelle, Φ concentrazione

• = -D_F∇Φ = -v_rmsl∇Φ da cui D_F = v_rmsl che per il gas perfetto D_F = v_rmsl =

• = D_F∇²Φ Seconda legge di Fick che deriva dalla conservazione del numero di particelle totali diffuse nel volume, da cui stimiamo il tempo caratteristico di diffusione τ_F =

• γ = Tensione superficiale [Nm^-1]

• p_in - p_est = γ( + ) Legge di Laplace sulla curvatura delle superfici in discontinuitá di pressione

• γ_SL + γ_LGcosθ_C = γ_SG Equazione di Young della capillaritá

• h = 2γ Legge di Yurin

• W = - + Be^-s∕δ Energia reticolare dove il primo termine é il termine attrattivo dato dalla forza di Coulomb, A é la costante di Madelung determinata dalla geometria, s il passo reticolare

• β = - Compressibilitá

• K = = -V Incompressibilitá o "Bulk Modulus"

• K = = -V = V derivante da dW = -pdV

• W(s) = W₀+()Δs²+()Δs³+... = W₀+κΔs²-fΔs³+... sviluppo dell’energia del reticolo

• ₀ = W(s) + K = W₀ + k_BT

• = = Energia totale di un atomo mediata sul reticolo per unitá di massa

• c_v = 3 Legge di Dulong Petit dalla definizione di c_v =

• Δa = Passo d’oscillazione dell’atomo approssimando W(s) al secondo ordine, quindi per oscillazione simmetrica

• Δs = ±Δa + ε,ε > 0 Passo d’oscillazione approssimando al terz’ordine

• ε ≈ f = Dipendenza di epsilon dalla temperatura

• s₀′ = s₀ + ε

• α_l = = = Coefficiente di espansione termica Lineare per un solido

• α_v = 3α_l Coefficiente di espansione termica Volumetrica per un solido

2 Capitolo 2:
Equilibrio Termodinamico

• ΔW = ΔQ + ΔL Primo principio della termodinamica

• δ_eS = Secondo principio della termodinamica

• dS = δ_eS + δ_iS dove δ_iS ≥ 0

• dS = Secondo principio della termodinamica per processi reversibili

• H = E + pV Entalpia (calore scambiato a p costante)

• dH = TdS + V dp

• F = E - TS Energia libera di Helmoltz

• dF = -pdV - SdT

• G = E - TS + pV Potenziale di Gibbs

• dG = V dp - SdT

• p = ρRT Legge dei gas per gas specifico essendo R_u costante universale dei gas e R = R_u∕μ

• p = ∑ _in_i Legge di Dalton

• α = ()_p = -()_p Coefficiente di espansione termica (per il gas perfetto α = )

• β_T = -()_T = ()_T Compressibilitá isoterma

• K_T = = -V ()_T = ρ()_T Incompressibilitá isoterma o Bulk Modulus

• = -β_T(p-p₀) + α(T -T₀) Equazione di stato per sostanza qualsiasi (solido soggetto a sforzo isotropo, fluido in condizioni statiche)

• c_p = T()_p = ()_p Calore specifico a pressione costante

• c_v = T()_V = ()_V Calore specifico a volume costante

• R = c_p - c_v Per il gas perfetto

• γ =

• ΔE = ()_V ΔT + ()_TΔV Energia interna per sostanza qualsiasi

• ΔE = c_vΔT - pΔV + T()_V ΔV

• dE(T,V ) = c_vdT + [αTK_T - p]dV

• c_p = c_v + α²TK_TV Relazione fra i calori specifici per sostanza qualsiasi

• ρc_p( + ⋅∇T) = ρQ + k∇² T Equazione del calore

• Ra = > Ra_cr Condizione di instabilitá per fluido viscoso (η) incomprimibile soggetto a gradiente verticale di temperatura ( < 0 condizione necessaria) essendo Ra =

• < Γ_a < 0 Condizione necessaria (piú stringente) per fluido comprimibile

• Γ_a = = - Gradiente adiabatico per gas perfetto

• Γ_a = = - Gradiente adiabatico per sostanza generica

• G₁(p,T) = G₂(p,T) Potenziale di Gibbs per transizione di fase in equilibrio

• () = Equazione di Clausius-Clapeyron per la transizione di fase

• L = T(ΔS)_T = T(ΔS)_p Calore latente o Entalpia di transizione

• dS_lat = dw₂ Variazione infinitesima di entropia dovuta al passaggio di fase

• dS_sen = c_pdT -dp Variazione infinitesima di entropia dovuta al trasferimento di calore sensibile

• dS = dS_tot = dS_sen + dS_lat = c_pdT -dp + dw₂

• = Γ_a + Gradiente termico in presenza di cambiamento di fase

• ΔT_f =

• p_e = Ce^- Pressione di vapor saturo lontano dalla T critica

• = - = - ≈ -5.45K∕Km Gradiente termico per atmosfera umida dove R_a = R_u∕μ

• Θ(z) = T(z) -∫ _z0^zΓ_adz Temperatura potenziale

• = - Γ_a Instabilitá generica per sostanza compressibile

• = - > 0 Instabilitá per sostanza compressibile dove é il gradiente adiabatico di densitá e ρ_pot é la densitá potenziale

• Per oceano/mantello = - dove K_s = ρ()_S incompressibilitá adiabatica

• p₀()^γ = p()^γ densitá potenziale per il gas perfetto = -
  con condizione di instabilitá > 0 ⇐⇒ < 0

3 Capitolo 3:
Conduzione Termica

• N(t) = N(0)e^-λt Legge di decadimento radioattivo (t tempo,λ probabilitá di decadimento dei nuclei nell’intervallo di tempo)

• H(t′) = ∑ H_iC_ie^λ_it′ Produzione di calore della roccia al tempo t’, C_i le concentrazioni dei nuclei radioattivi

• = + [e^λt - 1] Isocrona di roccia intera

• y_i = c + x_i[e^λt - 1]

• T(z) = -H+z+T_s Temperatura in funzione della profonditá dalla legge di conduzione stazionaria per valori di H costanti

• T_i(z) = -++T_i-1 Generalizzazione della precedente per un sistema multistrati dove teniamo in considerazione la continuitá della temperatura (T⁺ = T^-) e la continuitá del flusso di calore (q⁺ = q^-) fra gli strati dove gli indici i - 1 indicano l’ultimo valore assunto dallo strato precedente

• Per crosta terrestre H(z) = H₀e^-z∕δ ovvero k = ρδH₀e^-z∕δ + c ₁ dove avendo assunto h >> δ possiamo dire che c_≈q_m da cui ricaviamo contributo crostale q_s = q_m+q_c = q_m+[ρH]δ da cui otteniamo

• T(z) = T_s + z + (1 - e^-z∕δ) Geoterma continentale

• q(r) = Flusso alla distanza r dal centro del pianeta per pianeta sferico con r dell’o.d.g del raggio del pianeta

• T(r) = T_s+(a²-r²) Temperatura alla distanza r per pianeta sferico (a raggio del pianeta)

• T(z,t) = ℜ{Z(z)f(t)} = ℜ{(ΔTe^-z∕δe^-iz∕δ)(e^iωt)} = ΔTe^-z∕δcos(ωt -) Riscaldamento periodico di un semispazio da sorgente esterna dove abbiamo definito δ = lo spessore di penetrazione

• T(z,t) = T_s+(T₀-T_s)erf() Raffreddamento istantaneo di un semispazio a Temperatura T₀ posto a contatto con un termostato T_s dove erf é la Error function erf(η) = ∫ ₀^ηe^-t2 dt

• q(z,T) = (T₀ - T_s)e^-η2 = (T₀ - T_s)e^- Flusso di calore del raffreddamento istantaneo, ottenuto da q = k = k essendo η =

• t = ≈ 6 × 10⁶anni Stima dell’etá della Terra di Kelvin eguagliando il flusso di calore q = k al flusso del raffreddamento istantaneo

• T(z,t) = T_s + (T₀ - T_s)erf() Geoterma oceanica nel sistema di riferimento solidale con la litosfera in movimento (stesso risultato del raffreddamento istantaneo)

• T(z,x) = T_s + (T₀ - T_s)erf() Geoterma oceanica nel sistema di riferimento fermo rispetto alla dorsale, essendo v la velocitá di deriva della litosfera rispetto alla dorsale, x la distanza percorsa dall’origine, da cui si puó derivare flusso di calore analogo a quello del semispazio

• z_L = 2.32 = 2.32 Spessore della Litosfera dato dall’aver compiuto il 90% dell’escursione termica

• w = 2 Topografia isostatica dei fondali oceanici (essendo w la profonditá del fondale rispetto alla quota della sommitá della dorsale), derivata dal principio di isostasia

• h = stima dell’altezza di un ghiacciaio trascurando avvezione e depositi di ghiaccio (stima irrealistica), sono noti T₀eT_s temperatura alla base e temperatura esterna

• T(z) = T_s + a(1 - erf(u(z))) = T_s + a(1 - erf())) temperatura in un ghiacciaio a base fredda da cui considerando la bse vicina al punto di fusione
  T_f = T_s + a che ci permette di stimare l’altezza del ghiacciaio a h = ()² piú realisticamente

4 Capitolo 4:
Meccanica dei Continui

• A′_i1i2...ik = C_i1j1C_i2j2...C_ikjkA_i1i2...ik Definizione di tensore

• δ_ij Delta di Kronecker (δ_ij = 1 quando i = j, 0 altrove)

• e_ijk Tensore di Ricci (e_ijk = 1 per permutazioni pari di 123, -1 per permutazioni dispari, 0 altrove)

• e_ijke_klm = δ_ilδ_jm - δ_imδ_jl Identitá e - δ

• = ε_ij+ω_ij Gradiente dello spostamento diviso in componente simmetrica e antisimmetrica

• ε_ij = ( + ) Tensore infinitesimo di deformazione
  Nel sistema di riferimento degli autovettori normalizzati la variazione relativa lungo la componente i é il valore ε_ii = , viceversa con i≠j ε_ij = (α +β) angoli di deformazione nel piano

• = ε_ij Variazione relativa di distanza fra due punti distanti dx_i

• ε_kk = ∇⋅ = Traccia del tensore é variazione volumetrica relativa

• ε_ij^(I) = ε_kkδ_ij Componente isotropa tensore deformazione

• ε′_ij = ε_ij -ε_kkδ_ij Componente deviatorica tensore deformazione

• = ∫ _{V (t)}{ + ∇⋅ [a(,t)]}dV Derivata di grandezze additive A dove a(,t) é la densitá di A e il prodotto a il flusso di A

• + ∇⋅ (ρ) = 0
  + ρ∇⋅ = 0 Equazione di continuitá (dalla conservazione della massa)

• = ∫ _{V (t)}ρdV Applicazione dell’equazione di continuitá a grandezze Γ dipendenti dalla massa

• T_i() = n_kτ_ki Trazione su una superficie di normale n note le componenti τ_ki

• f_i + = ρ Equazioni del moto

• τ_ij = τ_ji Dall’equazione del momento angolare

• p = -τ_kk Pressione media dovuta agli sforzi normali

• σ′₁ = σ₁ -τ_kk
  σ′₂ = σ₂ -τ_kk
  σ′₃ = σ₃ -τ_kk
  

• S_max = (σ_max - σ_min) Sforzo di taglio massimo

• 0 = ρgδ_i3 + Stato di sforzo in prossimitá della superficie della crosta

• τ_ij = Δτ_ij -p_litδ_ij Ambienti tettonici, Δτ_ij fornisce la componente deviatorica
  σ′_i = σ_i + p
  τ′_kk = 0 ⇐⇒ σ′₁ + σ′₂ + σ′₃ = 0
  σ′_z = σ′₁ Ambiente distensivo, faglia normale
  σ′_z = σ′₃ Ambiente compressivo, faglia inversa
  σ′_z = σ′₂ Faglia trasforme, compressione e distensione sul piano xy
  

• tan(2β) = Teoria della fagliazione di Anderson avendo f_s > 0 coefficiente di attrito statico
  δ = 90 - β > 45 Ambiente distensivo, faglia normale
  δ = β < 45 Ambiente compressivo, faglia inversa
  Per faglia trasforme β < 45 angolo fra piano ed asse di massima compressione

5 Capitolo 5:
Relazioni Costitutive

• + (ρv_i) = 0 Equazione di continuitá

• ρ = f_i +   i = 1,2,3 Equazioni del moto

• = + ∫ _Bτ_ijε_ijdV = + Equazione dell’energia per un continuo

  = ∫ _Bτ_ijε_ijdV Lavoro di deformazione

  Δ_ε = τ_jiΔε_ij Variazione nell’intervallo Δt

  Δ_ε = Δ_V + Δ_F Lavoro di deformazione su dV

  Δ_V = -p Lavoro speso per cambiare il volume

  Δ_F = τ′_ijΔε′_ij Lavoro speso per cambiare la forma a V costante (τ_ij = pδ_ij + τ′_ij)

• F = kΔu Legge di Hooke

• τ_ij = C_ijklε_kl Relazione costitutiva che lega τ_ij ad ε_ij (21 costanti libere)

  τ_ij = λε_kkδ_ij + 2με_ij Relazione costitutiva per materiale isotropo (λ,μ costanti di Lamé)

  τ_kk = Kε_kk = -Δp Legame parti isotrope, K incompressibilitá, bulk modulus

  τ′_ij = 2με′_ij Legame parti deviatoriche, μ rigiditá, shear modulus

  K = λ + μ

  K = = -V
  K_T = -V ()_T Incompressibilitá isoterma
  K_S = -V ()_S Incompressibilitá adiabatica

• ε_ij = (τ_ij - λε_kkδ_ij) Relazione costitutiva inversa, deformazione dato lo sforzo ε_kk = τ_kk∕(3λ + 2μ)
  ε_ij = (τ_ij -τ_kkδ_ij)

• τ_kk = τ₁₁ Stato di sforzo uniassiale

  E = = μ Modulo di Young, trazione su allungamento relativo

  ν = - = Modulo di Poisson, contrazione trasversale sulla variazione relativa longitudinale

• ρ₀ = f_i + Equazione del moto per piccole deformazioni

• ρ₀ = + (λ + μ)(∇(∇⋅)) + μ∇² Equazione di Cauchy-Navier per le onde elastiche

• = c²∇²φ Equazione d’onda di D’Alembert, c velocitá di propagazione dell’onda

  ϕ = ∇⋅ = ε_kk Onde P (Primae), longitudinali
  V _P = Velocitá onde P ψ = ∇× Onde S (Secundae), trasversali
  V _S = Velocitá onde S

• Fluidi Viscosi Newtoniani
  F = η Pistone, velocitá del pistone
  ε_ij^(I) Deformazione isotropa limitata
  ε′_ij Deformazione deviatorica illimitata
  σ_ij Sforzo dovuto al moto del fluido (0 quando fluido in quiete), esclusivamete deviatorico
  τ_ij = -pδ_ij + σ_ij Fluido in movimento

  e_ij = = ( + ) Velocitá di deformazione
  τ_ij = -pδ_ij + 2η(e_ij -e_kkδ_ij) Fluido newtoniano di viscositá η

• ρ = ρ -∇p + η[∇² + ∇(∇⋅)] Equazione di Navier-Stokes ρ = ρ -∇p + η∇² N-S per fluido incomprimibile (∇⋅ = 0) ρ = ρ -∇p Equazione di Eulero, N-S per fluido inviscido (η = 0) = + ∇() - × ρ( + ∇() - ×) = ρ -∇p + η[∇² + ∇(∇⋅)] N-S in forma vettoriale

• u(z) = z,  p(z) = ρg(h - z) + p_a Flusso piano di Couette

• u(z) = (h² - z²) Flusso 1-D forzato da un gradiente di pressione(k)

• u(z) = (R² -r²) Flusso di Poiseuille, Flusso newtoniano in condotti cilindrici, max in r = 0
  u = = R² = u_max ∝ k Velocitá media del flusso in condotto, (Q portata)

• Transizione alla turbolenza

  f = Fattore di attrito (forza di pressione/accelerazione)

  Re = Numero di Reynolds (accelerazione/forza viscosa)

  Transizione alla turbolenza quando Re > 2200 (sperimentale)

  Per flusso laminare f =

  Per regime turbolento f = (sperimentale)

• + ∇B = × Teorema di Bernoulli (fluido inviscido) B = v² + gz + ∫ Funzione di Bernoulli

  Flussi stazionari = 0

  Flussi irrotazionali = ∇× = 0 = ∇ϕ Potenziale di velocitá ϕ + v² + gz + ∫ = 0 Teorema di Bernoulli per flusso inviscido irrotazionale

• ∮ _γ ⋅ d = 0 Teorema di Kelvin, dato un fluido inviscido barotropico in un sistema inerziale la circuitazione di é costante nel tempo (non si formano vortici)