appunti dal corso di

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introduzione alla fisica
dei sistemi complessi

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berselli gregorio lanzi samuele
barbieri matteo farn� gabriele
https://github.com/Grufoony/Fisica_UNIBO

Indice

Capitolo 1
Introduzione

1.1 Sistema Complesso

Per lo studio di un sistema complesso si usa solitamente un approccio olistico, ossia si studiano prevalentemente le propriet� macroscopiche del sistema totale, senza considerare i singoli sottosistemi. Un’osservazione importante che va effettuata � che un modello di sistema complesso prevede, non descrive.

Per un numero elevato di gradi di libert� � possibile utilizzare l’approccio della meccanica statistica. Alcune delle propriet� principali dei sistemi complessi sono:

• complessit�: presenza di molti d.o.f. (molti agenti)

• propriet� emergenti: derivano dal grande numero di agenti. Ad esempio possiamo definire fluido un insieme di molte particelle ma la particella singola non pu� essere fluida.

• autorganizzazione: i sistemi complessi sono ibridi, ossia met� stocastici e met� deterministici. Per studiarli devo dare ugual peso a entrambi gli aspetti.

La complessit� dei sistemi fa si che per definirne uno stato occorra molta informazione. Ogni sistema complesso fornisce un feedback rispetto alle condizioni inziali che sono fornite. In particolare, si parla di feedback positivo se le condizioni iniziali portano il sistema a "esplodere", ossia ad allontanarsi inesorabilmente dall’origine, mentre si parla di feedback negativo quando dopo un certo periodo di tempo il sistema ritorna alle condizioni iniziali.

1.2 Teoria di Ljapunov

In un sistema classico, una volta scritta la lagrangiana (o hamiltoniana) del sistema e ottenute le equazioni del moto, � cosa fatta determinarne l’evoluzione nel tempo (traiettorie). Nei sistemi complessi, tuttavia, non � possibile utilizzare un approccio deterministico: si parla infatti di caos deterministico. Questo caos � causato soprattutto dalle fluttuazioni intrinseche dei sistemi complessi, le quali li rendono particolamente sensibili alle condizioni iniziali. Si consideri sistema alle condizioni iniziali x₀. Dopo un tempo t, si trover� naturalmente il sistema in una posizione x(t) determinata dalle condizioni iniziali. Si assuma ora la presenza di fluttuazioni sulle condizioni iniziali x₀ + δ₀: il sistema evolver� ora come x(t) + δ(t). La teoria vuole che le fluttuazioni seguano l’andamento

dove il coefficiente λ � detto esponente di Ljapunov. Il calcolo di questo parametro non � banale, pertanto non verr� dimostrato ma solo riportato.

Nonostante il limite precendente appaia complicato, nella maggior parte dei casi � possibile utilizzare l’approssimazione λ ≃ ∑ _k ln , dove k indicizza una traslazione temporale Δt. Per comprendere i limiti dell’approssimazione precedente si pu� notare come δ₀e^λt = o(1), quindi ln δ ₀ + λt = 0.

Si pu� notare come:

• l’esponente di Ljapunov � una propriet� dell’orbita, non del punto, ed � quindi necessario interagire su tempi lunghi;

• un’alta sensibilt� alle condizioni iniziali implica una scarsa predittivit�;

• per λ >> 1 � possibile utilizzare l’approccio statistico;

• le propriet� sono locali (ma non cos� tanto locali).

Non � possibile conoscere a priori il segno di λ. Il caos deterministico, ovviamente, si ottiene solo se λ > 0 (l’esponenziale esplode) in un insieme a misura finita. Ne consegue che le orbite debbano espandersi rimanendo limitate, fenomeno noto come stretching-folding, che comporta la conservazione di una misura (volume).

1.3 Costruzione di un modello

Punto fondamentale di un sistema complesso � costruire un modello che riesca a riprodurre le sue caratteristiche fondamentali, per poi studiarlo. Innanzitutto, per prevedere un sistema occorre:

• un modello (matematico) per l’evoluzione;

• una conoscenza dello stato presente (o passato) del sistema sufficiente ad inizializzare il modello;

Figura 1.1: Schema operativo

In Fig.(1.1) � presente lo schema operativo della creazione di un modello. Il punto di partenza � sempre un problema, la cui osservazione sperimentale fornisce i dati sui quali costruire un modello di teoria . Con esso � poi possibile eseguire delle predizioni da confrontare con i dati sperimentale per comprenderne l’affidabilit� e gli eventuali scenari incompatibili. Ovviamente un buon modello teorico deve avere dei parametri manipolabili (di controllo) e caratteristiche valide universalmente.
Si possono distinguere due tipologie di modelli, le quali verranno ora analizzate.

1.3.1 Modelli ad agente

La prima tipologia di modello sono i modelli ad agente, ossia quei modelli in cui si effettua uno studio di tipo bottom-up (dal particolare al generale). Assunzione fondamentale � di avere piena conoscenza sui comportamenti dei singoli agenti e sull’ambiente in cui questi si relazionano. Una volta formalizzati matematicamente i comportamenti dei singoli � possibile procedere con una simulazione, la quale fornir� una possibile evoluzione del sistema. � essenziale notare come in questo caso il risultato ottenuto sia solamente uno dei tanti possibili: bisogner� quindi effettuare la simulazione numerose volte e mediare sui risultati ottenuti. Riguardo la costruzione del modello, la prima cosa da definire � l’ambiente in cui ci si trova. Questo pu� essere neutro o avere caratteristiche, ad esempio una distribuzione di nutrimento (per sistemi biologici). Altro punto fondamentale � definire spazio e tempo. Spesso non fa differenza la scelta di spazi e tempi discreti rispetto ai continui, quindi � preferibile assumere una discretizzazione iniziale per poi passare al continuo successivamente. Una volta definito lo spazio bisogna poi decidere le condizioni al contorno, ossia il comportamento ai bordi. Si possono avere barriere di tre tipi:

• riflettenti, dove si ha un bordo non oltrepassabile. Si crea quindi un fenomeno di attrattivit� delle pareti.

• periodico, dove si hanno i bordi coincidenti (esco da una parte e rientro dall’altra). Lo spazio assume in questo caso una forma toroidale.

• assorbenti, dove gli oggetti "uscenti" vengono distrutti. In questo caso bisogna di introdurre delle sorgenti nel modello per evitare di perdere tutti gli agenti.

Si nota facilmente come pi� piccolo sia il modello, pi� importante sia il contributo degli effetti di bordo.
Nella maggior parte dei sistemi non tutti gli agenti hanno le stesse caratteristiche: si definiscono allora classi di appartenenza, legate tra loro da relazioni matematiche.

1.3.2 Modelli a equazioni

La seconda ed ultima tipologia di sistema complesso � data dai modelli a equazioni, ossia quei modelli in cui si effettua uno stduio di tipo top-down (dal generale al particolare). In questo caso si assume di non avere conoscenza sui singoli agenti ma di possedere informazioni di carattere puramente macroscopico, dette osservabili del sistema. Tipicamente, gli osservabili sono legati tra di loro tramite equazioni differenziali le quali, una volta integrate, forniscono un’evoluzione del sistema nel tempo. In questo caso il risultato ottenuto rappresenta gi� una media di tutti i risultati possibili: le fluttuazioni del sistema provocheranno quindi uno scostamento da questo valore. Ovviamente, pi� tempo si far� evolvere il sistema, pi� rilevante sar� l’effetto delle fluttuazioni e meno preciso sar� il risultato della previsione.

1.4 Distribuzioni

Per l’analisi matematica dei sistemi � utile definire le funzioni di distribuzione, le quali sono indicatori della frequenza di avvnimento di un fenomeno.

La gaussiana, riportata in Fig. (1.2), � nota come la distribuzione degli errori ed � tra le pi� importanti funzioni della fisica. Caratteristica principale � la sua discesa molto veloce superata una distanza pari a σ dal valore medio.

L’esponenziale, riportato in Fig. (1.3), � la distribuzione emergente dalla meccanica statistica (fattori di Boltzmann).

La potenza, riportata in Fig. (1.4), � una distribuzione che possiede un’importanate propriet�, detta invarianza di scala.

1.5 Esempi

1.5.1 Automa cellulare

Un sistema che vuole simulare l’evoluzione di una popolazione in spazi e tempi discreti � detto automa cellulare. Si vuole ora creare un automa cellulare con le seguenti caratteristiche:

• effetto di riproduzione: consiste in un aumento del numero di individui che si riflette nell’espansione esponenziale del sistema (effetto comune in natura purch� le risorse siano sufficienti), ossia

• effetto di competizione: limita la crescita della popolazione. Un individuo compete coi suoi simili, quindi il contributo competitivo sar� del tipo

Assunzione fondamentale di questo modello � che ogni individuo possa incontrare tutti quegli altri, irrealistico in quanto in una rete sociale la probabilit� di incontri varierebbe da individuo a individuo. In un modello continuo si avrebbe

dove Δt rappresenta il tempo in cui la popolazione evolve (teoria del campo medio), a � il tasso di riproduzione e b il tasso di incontri, questi ultimi assunti costanti. Nel limite Δt → 0 si ottiene l’equazione logistica

(1.1)

che altro non � che la rappresentazione continua della mappa logistica

(1.2)

ossia la rappresentazione dinamica non lineare pi� semplice che degenera in un moto caotico, resa pubblica nel 1976 dal biologo Robert May.
La stabilit� del sistema si ha ovviamente per n = e la soluzione analitica del problema diventa

riscrivibile nella forma di funzione logistica

(1.3)

Figura 1.5: Funzione logistica.

Si pu� osservare come i limiti f(t) = �1 rappresnetino due stati fissi mentre la zona centrale sia di transizione, quindi per f(t) = 0 si avr� la massima variazione.

1.5.2 Random Walk 1D

Il modello pi� basilare di sistema complesso � sicuramente la random walk su una retta, ossia un punto che ogni istante di tempo decide in maniera casuale se spostarsi a destra o a sinistra. Sia p = la probabilit� di muoversi verso destra (quindi anche a sinistra) di un passo Δx. Si hanno:

• {R}: p(t + Δt) = x(t) + Δx

• {L}: p(t + Δt) = x(t) - Δx

Dopo n passi si ha quindi p(nΔt) = x₀ + ∑ _kξ_kΔx con ξ(t) = �1. Inoltre si pu� verificare che < ξ_k >= 0, < ξ_k² >= 1, < ξ _kξ_h >=< ξ_k >< ξ_h >,k≠h. Per il teorema del limite centrale si ha: ∑ _kⁿξ _kΔx = = e^- , con z variabile gaussiana. Introducendo il concetto di diffusione:

si pu� descrivere l’evoluzione del sistema come x(t) = x₀ + z Si utilizza per normalizzare in quanto � l’unico esponente non divergente. La varianza della gaussiana cresce nel tempo, infatti calcolando i momenti della distribuzione si trova < x(t) >= x₀, < (x(t) - x₀)² >= Dt. Se la topologia del sistema fosse una circonferenza (e non una retta), si avrebbe un rilassamento esponenziale a una situazione stazionaria.
Definito un intervallo -L,L sulla retta, la probabilit� che il punto vi sca dopo un tempo t � data da:

(1.4)

Si pu� facilmente notare come raddoppiando la distanza L il tempo t quadruplichi.

1.5.3 Random Walk 2D

Volendo espandere il modello di random walk ad uno spazio 2D si nota subito come, essendo ogni asse indipendente dall’altro, si possa semplicemente comporre due gaussiane:

Dove la diffusione segue la definizione precedente ed � la stessa in tutte le direzioni. La funzione ρ(x,y,t) rappresnta di fatto la probabilit� che la il soggetto in analisi si trovi in un volume ΔxΔy. Si pu� riscrivere la relazione precedente in coorfinate polari ottenendo:

studiando pi� semplicemente l’allontanamento dall’origine. In particolare, l’allontanamento medio risulta:

e la densit� diminuisce quindi esponenzialmente.

1.5.4 Random Walk non omogenea

Si consideri ora una random walk 1D con probabilit� non uniforme in un reticolo di passo Δx. Sia ϵ un parametro e si definiscano le probabilit�:

Si pu� verificare facilmente come le probabilit� siano ben definite. Il sistema tende a muoversi pi� velocemente nel verso positivo delle x e pi� lentamente nel verso opposto, assomigliando a una scatola con aria a diversa temperatura: vi � quindi un equilibrio locale (ogni nodo � identico). Si pu� osservare come:

Ogni passo ho un enemble differente, quindi lo spazio non � omogeneo. Ponendo T(x) =< Δx² > come funzione corrispondente alla temperatura fisica, si ottiene un gradiente costante:

Questo gradiente si ritrova spesso in natura, ad esempio i batteri variano la velocit� di movimento (casuale) dei loro flagelli seguendo un gradiente di cibo. Per essere apprezzabile la variazione di temperatura deve essere tale che ΔT = Δx ∝ Δx³ e in un limite continuo si ottiene:

Andando a calcolare media e mediana del sistema si nota come:

In conclusione la maggior parte delle particelle si trova nella zona fredda (x < 0), come vuole la fisica, ma la media della distribuzione si trova nella zona calda (x > 0).

1.5.5 Dinamica generica di interazione

Consideriamo di avrere n₀ individui iniziali su una griglia (spazio discretizzato) che si muovono seguendo una Random Walk 2D e soggetti alle seguenti restrizioni:

• se un individuo ha spazio sufficiente, si riproduce in un tempo Δt, allora si deve avere Δn(t) ∝ n(t);

• se due individui competono per lo stesso spazio, uno dei due soccombe con una certa probabilit� p, il che implica Δn(t) ∝-n²(t);

Si osservi come il termine n²(t) conti il numero di coppie. Definita la scala di tempo Δt, in un modello continuo si deve avere (teoria del campo medio):

con a parametro di riproduzione e competizione nella popolazione (dato dall’ambiente). Imponendo l’equilibrio

si ottengono i punti critici n = 0, instabile, e n = stabile. La soluzione al sistema � quindi del tipo

(1.5)

e la funzione logistica del sistema �

(1.6)

1.5.6 Catmap

Consideriamo un gatto su un toro Π² (ciambella) in gradi di muoversi secondo la:

Risulta ovvio come

quindi si conservino le aree. Calcolo degli autovalori:

e si ottengono

Il sistema dilata densamente lungo la direzione v₊ dell’autovettore λ₊ > 1. Dato un vettore iniziale x₀, (x₀ ⋅ v_t)λ_tⁿ ⇒ ln λ _t � l’esponenziale di Ljapunov.

In Fig.(1.6) � rappresentata un’applicazione della catmap su un insieme di punti. Si pu� notare come una volta fatto evolvere il sistema partendo dall’area nera, questo non ritorni nella condizione iniziale applicando la trasformazione inversa (area verde).
Problema: data una distribuzione di punti ρ₀, cosa succede a ρ₀(Tⁿx)?
Per definizione, data una distribuzione ρ(x), questa deve essere normalizzata ∫ _Π²ρ(x)dx = 1. L’equazione di continuit� permette di imporre la conservazione del numero di particelle:

in cui si riconosce = det = 1, quindi ρ₀ evolve in una distribuzione di particelle. Si pu� ora constatare che, se I(x) � un osservabile del sistema, vale la relazione:

La teoria suggerisce l’esistenza di una distribuzione invariante ρ_s = ρ _s. Sia ora χ_A(x) la funzione caratteristica del dell’insieme A, e ρ₀(y) = , I(x) = χ_B(x). L’integrale precedente diviene:

(1.7)

e si � cos� dimostrato il teorema 1.2.2.

1.5.7 Modello economico

Si vuole ora costruire un primo modello legato alla realt� simulando, per quanto grossolanamente, l’economia globale.
Supponiamo di avere M individui con n soldi ciascuno, che si muovono su una griglia secondo una Random Walk 2D. Ogni qualvolta due individui si trovino sulla stessa cella questi si scambiano 1 soldo con probabilit� p = .
Caso limite: se si incontra un povero (n = 0), si gioca lo stesso (gioco scorretto) per permettere a tutti di uscire dalla povert�. Il sistema ha quindi i seguenti limiti:

con N costante, quindi non si ha creazione/distruzione di denaro. La probabilit� di trovare un individuo con n soldi �:

e, ponendo n = , si pu� calcolare:

(1.8)

quindi la probabilit� decresce esponenzialmente.

Il modello prevede quindi:

• molti poveri e pochi ricchi (ma praticamente nessun super-ricco)

• esiste un tempo in cui un povero diventa ricco (e viceversa)

• simile alla distribuzione di energia di Maxwell-Boltzmann

• se chi � ricco pagasse di pi� si otterrebbe una curva a campana

Tuttavia osservando i dati sperimentali si nota una discrepanza: nella realt� la probabilit� sembra seguire una legge a potenza piuttosto che esponenziale. Pur non trovando riscontro nella realt�, si � appena dimostrato stocasticamente il fattore di Boltzmann e^-βϵ. Si pu� quindi pensare il denaro come un’energia interna al singolo mentre la probabilit� di scambio rappresenta la temperatura statistica del sistema.

1.5.8 Modello economico evoluto

Per adattare il modello precedente alla realt� si introduce una microdinamica sugli scambi di denaro.
Sia π_� la probabilit� di guadagnare �1 soldi se un soggetto ne possiede n. Il sistema possiede una struttura di catena:

A causa di questa struttura, all’equilibrio si deve avere:

e in particolare � verificato il bilancio dettagliato:

(1.9)

Normalizzata la distribuzione � possibile iterare il tutto:

Riscrivendo un maniera pi� comoda il bilancio dettagliato, si pu� poi procedere:

Si possono notare ora le seguenti dipendenze, introducendo la coppia di parametri costanti (a, b):

Cercando ora l’andamento di p(n):

(1.10)

si ottiene esattamente l’andamento a potenza ricercato.

1.5.9 La rovina di un giocatore

Si consideri un giocatore d’azzardo con a disposizione un capitale k e che vuole arrivare ad un capitale M. Il gioco finisce ai “bordi” (barriera assorbente) per k = 0 (giocatore rovinato) o per k = M (giocatore felice). Siano p la probabilit� di guadagnare, q = 1 -p la probabilit� di perdere, P_M(k) la probabilit� di arrivare al capitale M partendo da k. Come nel modello economico evoluto si ha:

con i vincoli

Ragionando per induzione si ottiene:

(1.11)

Inoltre,

(1.12)

In particolare, considerando un gioco equo, si pu� notare come P_M(k) = e quindi:

• il gioco � alla pari solo se k ≃ M

• la probabilit� di vincita aumenta all’aumentare del proprio capitale rispetto a quello avversario

• contro un casin� (M → ∞) la probabilit� di vincita � evidentemente nulla anche in caso di gioco equo (assunzione oltretutto inverosimile)

Capitolo 2
Entropia e Informazione

2.1 Probabilit�

Data una distribuzione di probabilit� ρ(x) normalizzata (integrale sul dominio uguale a 1) � possibile procedere con le seguenti definizioni:

2.1.1 Ranking distribution

Solitamente tale distribuzione � normalizzata in modo che y_j = . Per definizione la frequenza di un evento � , quindi la distribuzione cumulata risulta

(2.1)

con J(x_j inverso del ranking. La funzione di distribuzione sar� quindi

(2.2)

2.2 Entropia

Si supponga di voler calcolare l’incertezza di una distribuzione di probabilit� p₁,…,p_n per gli eventi {x₁,…,x_n}. Si assuma:

• H(p₁,…,p_n) continua;

• se p_j = allora H(,…,) � monotona crescente;

• Dati gli eventi composti y₁ = {x₁,…,x_m}, y₂ = {x_m+1,…,x_m+k} con probabilit� P(y_i∕x_i) = , allora
  H(p₁,…,p_n) = H(w₁,…,w_n) + w₁H + w₂H + …;

La soluzione � del tipo H(p₁,…,p_n) = -k_s ∑ _ip_i ln(p_i) dove si definisce

con k_s = costante di Shannon. Si pu� notare come H(p₁,…,p_n) sia massima per p_j = . Fissato x = ∑ _jx_jp_j, l’entropia � massimizzabile utilizzando i moltiplicatori di lagrange:

il che implica - ln p_j + λx_j = 0, con soluzione

(2.3)

con λ ≃- (risultato fondamentale della meccanica statistica). La distribuzione � quindi esponenziale, con p_j ∝ e^- .

2.3 Informazione

Si consideri una sequenza (codifica) {x_k}₁^N: si pu� assumere P({x _k}) = p(x₁)...p(x_N). Una codifica � detta ottimale se pu� descrivere in maniera univoca un’orbita.

Si nota subito come pi� un valore della variabile di coding � probabile, minor informazione questo porti. Informaticamente, la misura � circa il numero di bit necessari per memorizzare la sequenza (da qui il fattore ln 2 dell’entropia di Shannon). L’equazione 2.2.1 rappresenta quindi l’informazione media portata da un singolo carattere. Non bisogna confondere entropia con informazione: la variabile deve avere un significato! Data l’indipendenza dei caratteri, si pu� scrivere l’entropia di una coppia come

Iterando il ragionamento si giunge alla conclusione che l’entropia di Shannon misura l’aumento di informazione data dall’aggiunta di un carattere.

2.3.1 Matrice stocastica

Si � analizzato finora il caso di caratteri indipendenti gli uni dagli altri. Tuttavia, per comprendere una sequenza bisogna, in generale, conoscerne la memoria, ossia tutte le dipendenze di un evento dagli altri. Formalmente, ci� vorrebbe dire che, dati due eventi A e B, P = P P(A)≠P(A)P(B). Si pu� facilmente osservare come lim _N→∞ = P, dove N rappresenta il numero totale di eventi. L’irreversibilit� di un evento si ha quando la coppia di eventi AB � diversa dalla coppia di eventi BA.

La matrice stocastica ha per definizione le seguenti propriet�:

• 0 ≤ p_ij ≤ 1

• ∑ _jp_ij = 1

Questa matrice � molto importante, essento intrinsecamente legata alla probabilit� condizionata, ed � alla base di ogni problema di trasporto. Si consideri ora una sequenza infinita e sia p_i la probabilit� di avere l’elemento x_i in quella posizione. Qual � la probabilit� p_j di avere l’elemento successivo? Sia n il numero di passi per arrivare in posizione i, allora:

(2.4)

Risulta quindi utile il seguente teorema:

Corollari:

• p_j^s � un vettore stazionario situato nel primo quadrante

• l’iperpiano ∑ _i,jp_ijv_i = ∑ _iv_i = 0 sono invarianti per p_ij

• λ_i < 1 ∀i≠0

• p_jⁿ⁺¹ = ∑ _ip_ijp_jⁿ = 1 ⇔∑ _ip_iⁿ = 1

2.3.2 Teoria di Markov

A questo punto si pu� calcolare come cambi quantitativamente l’informazione di una catena aggiungendo un carattere.

Si pu� quindi calcolare l’entropia dell’(N+1)esimo passo

ottenendo, nel limite N >> 1, l’espressione:

(2.5)

Nei linguaggi l’aggiunta di un carattere non cambia di molto l’entropia (per fortuna, altrimenti sarebbe molto difficile parlarsi, ndr). Questa entropia fornisce tuttavia un’importante risultato sulla reversibilit� del processo: se invertendo il tempo non ho differenza di entropia, allora il processo � reversibile, altrimenti no. Le fluttuazioni di un sistema all’equilibrio sono sempre un processo reversibile, infatti osservando tale sistema non si riesce a distinguere tra passato e futuro. Come esempio per giustificare la precedente affermazione si pu� prendere un pendolo fisico in assenza di attriti/forse esterne, oppure un moto browniano. Un esempio grafico puo� essere rappresentato dalla Fig.(2.1).

Associando la matrice

si ha eguale probabilit� di transizione in ogni direzione ammessa dal grafo. L’evoluzione temporale � data da

e si verifica facilmente che il sistema � reversibile con distribuzione stazionaria

Considerando invece la matrice

si aumenta la probabilit� di percorrere il triangolo in senso antiorario. Essendo la distrubuzione stazionaria identica al caso precedente si pu� studiare la reversibilit� con il bilancio dettagliato:

Secondo Onsager, la distribuzione stazionaria corrisponde all’equilibrio quindi, analizzando le fluttuazioni � possibile capire se il sistema sia reversibile o meno. Nell’esempio riportato in Fig. (2.1) � evidente come la rimozione del punto A non influenzi il sottosistema BC: � questo l’equilibrio dettato dal bilancio dettagliato.
In conclusione, la teoria dell’informazione � applicabile quasi in ogni ambito. Sono stati effettuati studi sui linguaggi, premiando finlandese e tedesco come lingue pi� entropiche, e studi sulla musica, che vedono Bach meno entropico di Hindemith.

2.4 Esempi

2.4.1 Utilizzo della misura invariante

Sia x_n = 2ⁿ un numero, con n ≥ 1. Qual � la probabilit� che esso abbia un 7 come prima cifra?
Supponendo 2ⁿ = 7.× 10^k, allora log 2ⁿ = log 7. + k. Si consideri ora la dinamica

(2.6)

che rappresenta sostanzialmente una traslazione nell’intervallo [0, 1]. In questo caso l’esponente di Ljapunov � nullo in quanto non vi � espansione. Iterando la 2.6 si ottiene

e la misura invariante risulta quindi una distribuzione uniforme nell’intervallo [0, 1]. Da qui la probabilit� lim _n→∞P(7) = log 8 - log 7.

2.4.2 Entropia di una mano di carte

Supponiamo di possedere un mazzo di N carte differenti e di pescare da esso k ≤ N carte. Per calcolare l’entropia di informazione associata alla mano pescata, bisogna innanzitutto calcolare la probabilit� di una mano singola. Le combinazioni di k carte di un mazzo di N carte sono date dal coefficiente binomiale:

(2.7)

Assumendo che il mazzo non sia truccato, quindi che ogni estrazione sia equiprobabile, la probabilit� di ogni singola mano � p_i = . L’entropia di informazione (o di Shannon) associata ad essa � quindi

con k_S = costante di Shannon.

2.4.3 Broken Stick Model/Modello di Markov

Si consideri un segmento di lunghezza unitaria nel quale viene inserito casualmente un punto x₁ ∈ [0, 1] secondo una distribuzione uniforme. Si scarti ora il segmeno [0,x₁] e si iteri il processo per N volte: si tratta di un processo ricorsivo con memoria del passato. Essendo la distribuzione di probabilit� uniforme risulta ovvio come < x >= quindi � possibile riscalare il tutto con una variabile y → Definita la densit� ρ del sistema si pu� scrivere:

Il risultato � una legge a potenza con α = -1, quindi non normalizzabile in quanto l’integrale diverge. Il sistema ha un effetto di memoria assoluta: una volta tagliato il segmento non � possibile riattaccarlo. Se il segmento non venisse tagliato si otterrebbe un andamento a potenza con α ≥ 1 e risulterebbe pertanto normalizzabile. Un’utile applicazione dei modelli di Markov si trova nel linguaggio (verbi) e in biologia (DNA).

2.4.4 Penney’s game

Si prenda una moneta e la si lanci all’infinito. Si vuole scommettere con un’altra persona su una terna di uscite consecutive dai lanci e ci si chiede come si possa vincere pi� facilmente. Analizzando attentamente il problema si pu� notare come l’uscita delle sequenze non sia casuale ma segua un percorso ben preciso: l’unica sequenza casuale � quella data dalle prime tre uscite.

In questo modo risulta abbastanza semplice fregare l’ avversario: facendolo scegliere per primo, � sempre possibile scegliere una sequenza pi� probabile della sua.
Eseguendo i calcoli si nota subito come la probabilit� stazionaria del sistema sia data da ³ = = 12.5%. Scegliendo per secondi si vince sempre a meno che la sequenza dell’avversario non esca dai primi tre lanci, quindi eseguendo i calcoli sulle probabilit� si ottiene la seguente tabella:

Nel primo e nell’ultimo caso si nota facilmente come la vittoria sia certa ammesso che non esca la tripletta scelta dal giocatore 1. Essendo la probabilit� stazionaria , P_1,8 = 1 -³ = .
Nel secondo e nel penutlimo caso si pu� ragionare in modo analogo al caso precedente, ottenendo P_2,7 = 1 -² = .
In tutti gli altri casi la probabilit� � data da P_3,4,5,6 = + P(player1)… = ∑ _n=0^∞n = .

Capitolo 3
Modelli di trasporto

3.1 Teoria

Consideriamo due punti (A e B) di un generico spazio e colleghiamoli con un canale immaginario, facendo riferimento alla Fig.1, possiamo definire il flusso Φ_A→B di una quantit� fisica trasportata nell’unit� di tempo tra i due punti.

Definiamo V _A∕B una certa propriet� del nodo A∕B, questa propriet� ne definisce lo stato. Possiamo quindi scrivere una sorta di legge di Ohm per la situazione descritta

dove R � una propriet� del link (ad es.  la portanza di una strada ma anche la probabilit� di transizione). Osserviamo che � di notevole importanza la dimensione del link (L) in quanto se attraversiamo il link abbiamo un flusso Φ, di conseguenza la capacit� del sistema di trasporto richiede ΦL di “veicoli".

3.2 Reti neurali di Hopfield

Il problema alla base del modello di Hopfield consiste nel far memorizzare al network un insieme di p patterns ξ_i^μ in modo tale che se presento un nuovo stato ζ _i il network mi restituisce il pattern che pi� si avvicina a ζ_i. Etichettiamo ogni pattern con l’indice μ = {1,…,p} e le unit� del network (neuroni) con l’indice i = {1,…,N}.

Definizione 3.2.1. (Distanza di Hamming) La distanza di Hamming tra due pattern rappresenta il numero di bit che li differenzia tra loro.

3.2.1 La Dinamica Deterministica

Denotiamo lo stato dei neuroni con S_i = �1 (+1 se il neurone � attivo e -1 se � inattivo). La dinamica discreta del network si pu� scrivere come

(3.1)

con Δt = 1. La matrice w_ij � la matrice dei pesi delle connessioni tra neuroni i → j ed ha le propriet� di essere una matrice simmetrica (w_ij = w_ji) ed avere gli elementi sulla diagonale tutti nulli (w_ii = 0). Per questo tipo di dinamica i pattern memorizzati risultano essere degli attrattori Fig. 6.

Per motivare la scelta dei pesi delle connessioni consideriamo un caso semplice in cui abbiamo soltanto un pattern. La condizione per la quale il pattern risulta stabile �

(3.2)

che risulta essere vera se definiamo la matrice dei pesi come segue

(3.3)

infatti ξ_j² = 1. Ne deriva che se considero uno stato di rete S _i che differisce di qualche bit dal pattern che ho inzialmente mostrato al network, lo stato evolver� con la dinamica in equazione (3.1) e rilasser� a ξ_i. Tuttavia esiste un altro stato attrattivo: lo stato opposto (-ξ_i).
Il discorso pu� essere esteso anche al caso molti pattern? In tal caso possiamo ridefinire la matrice dei pesi come sovrapposizione delle matrici associate ad ogni pattern

(3.4)

questa � spesso chiamata regola di Hebb. Esaminiamo la stabilit� di un particolare pattern, la condizione di stabilit� generalizzata risulta

(3.5)

imponiamo S_j = ξ_j^ν

(3.6)

cio� i patterns devono soddisfare alla condizione di ortogonalit� e sotto questa condizione si ha che la distanza di Hamming � massima. Cosa succede se i pattern memorizzati non sono tutti ortogonali tra loro? Consideriamo la quantit�

(3.7)

l’espressione tra parentesi la chiamiamo termine di crosstak. Se C_i^ν � negativo allora il termine di crosstalk ha lo stesso segno di ξ_i^ν quidi non abbiamo un cambiamento dello stato, al contrario se C_i^ν > 0 abbiamo un flip dello stato del nodo. Ipotizziamo che i pattern siano variabili casuali a media nulla e varianza unitaria, quindi � possibile applicare il teorema del limite centrale e ∑ _μ≠νξ_i^μξ _j^μξ _i^ν → z � una variabile gaussiana Fig. (3.5):

• = 0

• = Np

• Allora ha varianza σ =

� anche possibile stimare la probabilit� di errore come

(3.8)

Figura 3.5: La distribuzione gaussiana dei valori del termine di crosstalk dato da p patterns e N unit�.

3.2.2 La Funzione Energia

Introduciamo anche qui il concetto di funzione energia o hamiltoniana del sistema per analogia con il Modello di Ising, trattato nelle sezioni precedenti. Facendo quindi riferimento all’equazione (1.4):

(3.9)

un esempio di possibile landscape energetico pu� essere immaginato come in Fig. (3.6). La propriet� principale dell’hamiltoniana (3.9) � quella di essere sempre decrescente (o costante) se il sistema evolve secondo la dinamica deterministica. � facile verificare questa affermazione: prendiamo S_i^′ un nuovo valore di S _i

(3.10)

se S_i^′ = S _i l’energia rimane immutata mentre, negli altri casi S_i^′ = -S _i scegliamo un termine che coinvolge S_i

(3.11)

i due termini risultano essere entrambi negativi.

Stati Spuri

Abbiamo mostrato che la regola di Hebb ci fornisce un sistema dinamico discreto che possiede degli attrattori ricercabili anche attraverso i minimi locali della funzione energia. Non abbiamo per� mostrato che questi attrattori sono gli unici. Infatti, per ogni attrattore ξ_i^μ esiste anche l’inverso, anch’esso attrattore -ξ _i^μ. � possibile mostrare che esistono degli stati stabili detti stati misti ξ_i^mix che non coincidono con nessun pattern ma rappresentano una combinazione lineare di un numero dispari di essi, nel caso pi� semplice:

(3.12)

Esiste anche un altro tipo di stati stabili che si verificano quando p � abbastanza grande rispetto ad N, questi stati non sono correlati in alcun modo con altri patten memorizati e sono chiamati stati vetro di spin. Questi ultimi due tipi di stati sono detti stati spuri.

3.2.3 La Dinamica Stocastica

Nel Modello di Hopfield viene introdotto un concetto analogo a quello di temperatura, intesa come disordine termico, per tenere conto delle fluttuazioni dovute a varie cause non controllabili. Si tratta pi� propriamente di una pseudo-temperatura, in quanto non ha nulla a che fare con le dimensioni fisiche n� con il significato fisico di una temperatura. Spesso si lavora con la temperatura inversa β definita da

(3.13)

Come nel Modello di Ising, anche nel Modello di Hopfield l’evoluzione del sistema � quindi governata dalla competizione tra la presenza di un campo esterno, che tende ad allineare gli stati delle unit� e prevale per basse temperature, e l’effetto del disordine termico che prevale ad alte temperature. Per tenere conto delle fluttuazioni, occorre introdurre una dinamica stocastica, valida per temperature finite, che si riduce alla di- namica deterministica esposta fin’ora nel limite T → 0. Ci� pu� essere fatto mediante la Dinamica di Glauber, sostituendo la regola dinamica deterministica (3.1) con la regola dinamica stocastica di Glauber. Ad ogni step temporale verr� aggiornata secondo

(3.14)

con

(3.15)

che pu� essere riscritta come (Fig. 9)

(3.16)

Per β →∞, ovvero T → 0, f_β tende alla step function che descrive la regola dinamica deterministica, mentre per β → 0, ovvero T →∞, f_β →, ovvero gli stati delle unit� sono completamente randomici. Notando che 1 -f_β(h_i) = f_β(-h_i), la regola dinamica stocastica pu� essere scritta come

(3.17)

3.3 Esempi

Capitolo 4
Teoria del controllo

4.1 Approccio generale

La teoria del controllo � quella branca della fisica che studia come controllare i sistemi dinamici. L’obiettivo principale � quello di creare un controllo, ossia un modello/algoritmo, in grado di portare un sistema dinamico in un determinato stato dato uno stato iniziale (in input).

Il dispositivo che gestisce il sistema dinamico � detto controllore e va selezionato accuratamente in base alle richieste del sistema da gestire. Formalmente il controllo viene immesso nel sistema attraverso una forzante che, aggiunta alla lagrangiana, permette lo studio e l’ottimizzazione del problema. Per maggiori informazioni sulla meccanica analitica � possibile consultare gli appunti delle lezioni al link https://github.com/Grufoony/Fisica_UNIBO/blob/main/Appunti_meccanica_analitica.pdf.

4.2 Applicazioni biologiche

Si supponga ora di voler studiare un sistema biologico quale, ad esempio, il cuore umano.

Il battito cardiaco stilizzato in Fig 4.1 suggerisce un modello in cui:

• il sistema abbia un equilibrio (al quale ritorna periodicamente)

• esiste una soglia trigger di un’onda

L’idea � ridurre la cellula cardiaca ad un sistema complesso a due variabile, x per la lunghezza della fibra e b per lo stimolo elettrochimico da associare ad essa (controllo elettrico). Il modello di Zeeman � rappresentato dal sistema

(4.1)

in cui la prima equazione ricorda l’equazione logistica (Eq. 1.1). Il fattore infinitesimo ϵ garantisce una scala di evoluzione rapida.

Figura 4.2: Nullclina.

L’equilibrio stabile si ha sulla nullclina = 0, quindi per x = x₀ e b = -x³ + Tx, il cui grafico � riportato in Fig. 4.2 I punti A e B sono ovviamente i punti critici del sistema: la parte di curva compresa tra i due punti non � esplorabile in quanto da B � solo possibile ricadere sul ramo di A e viceversa. Questa � l’idea della catastrofe di Zeeman, ove per A < b < B perdo l’invertibilit� del sistema. Se si � in presenza di uno stimolo ad onda quadra che riesce a spostare il sistema oltre il punto B (facendolo quindi ricadere su A) si ha la contrazione (sistole e diastole, vedi Fig. 4.3)

Volendo ora dimostrare formalmente la stabilit� del punto di equilibrio (x₀,b₀) � conveniente lavorare in un intorno di esso:

Linearizzando il sistema

ei ottiene la matrice

con determinante > 0. Data la presenza di un quadrato la stabilit� non dipender� dal segno di x₀ quanto dal suo modulo. Il determinante positivo implica autovalori entrambi positivi o entrambi negativi: si avranno autovalori positivi, quindi un punto instabile, se la traccia � positiva e viceversa. Si assuma ora di voler introdurre una funzione periodica x⁺(t) di periodo sufficiente per effettuare il “salto”.

Ora � possibile accoppiare due cellule cardiache come segue

con x(0) ≃ x₀ e y(0) ≃ x₁ punti di equilibrio. Per fare in modo che il sistema sostenga l’onda (senza il bisogno di uno stimolo esterno) � necessario un accoppiamento in controfase, ossia quando la cellula x � in contrazione la y � in dilatazione e viceversa. Creando una catena di questi oggetti � possibile quindi generare un fenomeno d’onda.

4.3 Esempi

4.3.1 Pendolo rovesciato

L’esempio pi� classico di sistema controllabile � dato dal pendolo rovesciato.

Siano x_C(t) la coordinata del controllore, x_O(t) la coordinata del pendolo di lunghezza l e θ l’angolo formato da esso con la verticale. Utilizzando la meccanica lagrangiana:

La lagrangiana del sistema si pu� scrivere come:

alle piccole oscillazioni (θ ≃ 0 e mgl cos θ ≃-mgl):

L’equazione del moto risulta infine:

(4.2)

Riconosciuta la forzante, per semplicit� si pone ẍ_C = �a(t) costante. La soluzione non � omogenea:

Assumendo ora θ₀ ≃ 0 e ₀≠0 e che il pendolo si stabilizzi in un tempo T si ha la soluzione stabile:

Si pu� ora ricavare la condizione richiesta:

(4.3)

Andando a imporla si ottiene:

Da cui si pu� ricavare il periodo di stabilit�:

(4.4)

Un’osservazione importante riguarda la condizione critica del sistema, ove esso non risulta pi� controllabile, che si ha quando ₀ = .

4.3.2 Marriage Model/Modello relazionale

Si supponga ora di voler controllare una relazione con un’altra persona, che tipo di relazione conviene studiare? La scrittrice Anna Karenina sembra fornire una soluzione al problema, constatando che tutte le relazioni felici sono uguali ma ogni relazione infelice lo � a modo suo. Sia ora x(t) il grado di felicit� nella relazione che, per semplicit� si assume positivo (x(t) ∈ ℝ⁺) in accordo con l’ipotesi della Karenina. L’equazione che descrive la relazione sar� del tipo:

(4.5)

in cui riconosciamo la funzione costo c(t) della relazione (ove per costo si intende uscire a cena, fare un regalo, ecc...),il parametro r (quanto la felicit� tenda a diminuire) e il parametro a (amplificazione del costo). La relazione giunger� al termine una volta arrivati ad un valore minimo della felicit�, che verr� denotato come x_m.
Per rafforzare il modello si introducono ora due potenziali:

• U(x), utility potential, il quale indica quanto funziona la coppia. Esso deve essere tale che U′(x) > 0 ma U′′(x) < 0, in quanto troppa felicit� tende a saturare la relazione;

• D(c), disutility potential, il quale tiene conto dello sforzo eseguito. Pi� il costo del mantenimento della relazione aumenta, pi� essa tende a fallire (non ne vale la pena). Ovviamente D(c) deve avere un minimo, dato che esiste uno sforzo considerato accettabile per mantenere la relazione;

Si pu� ora definire il funzionale di soddisfazione come:

dove il coefficiente λ^-1 rappresenta la scala di memoria del sistema.
Per ottimizzare il problema si deve avere

e quindi la variazione infinitesima del funzionale

Integrando per parti:

e quindi

Essendo δx arbitrario

Si assumano ora, per esempio, i seguenti potenziali

(4.6)

che forniscono il seguente sistema (equilibrio instabile):

(4.7)

Le orbite risultanti sono riportate in Fig.(4.5), dove si possono distinguere due strategie:

• STRATEGIA A: si segue un’orbita γ_A dai punti A → A′ poi si fa una decrescita discontinua lungo una c(t) da A′→ A. Sostanzialmente si spende molto per la relazione (nei termini visti in precedenza) poi, una volta divenuto intollerabile il costo, si fa una bella litigata e si ricomincia il ciclo;

• STRATEGIA B: si segue un’orbita γ_B dai punti B → B′ poi si fa una crescita discontinua lungo una c(t) da B′ → B. In questo caso si lascia andare la relazione senza apportare sufficiente sforzo poi, ad un passo dalla rottura, si rimedia il tutto con un gesto importante (alto costo) per ristabilire l’orbita.

In entrambi i casi bisogna, tuttavia, prestare parecchia attenzione una volta raggiunti i minimi: se lungo la γ_A si fa una litigata troppo pesante o lungo la γ_B si trascura troppo la relazione, si rischia di finire fuori orbita (quindi fuori equilibrio) e far cos� fallire la relazione (il che � no buono, n.d.r.).

4.3.3 Modello di Fitzhugh-Nagumo

Un’altra applicazione biologica � rappresentata dal modello per il neurone di Fitzhugh-Nagumo, basato sull’oscillatore di Var der Pol. Definite x potenziale di membrana e w la corrente, il modello consiste nelle equazioni differenziali:

(4.8)

con << 1 in modo da avere x variabile veloce e w lenta. Anche in questo caso si ottiene una nullclina simile a quella rappresentata in Fig. 4.2.
La stabilit� all’equilibrio � data da:

Si pu� verificare come esiste (e sia unico) un punto di equilibrio stabile P quindi, assumendo di aver trovato la risoluzione al sistema, � possibile linearizzare il campo

riscrivibile come matrice

che ha determinante - + . La stabilit� si ha per un modulo sufficientemente grande di x_P (anche se x_P → 0 al crescere di I) mentre l’instabilit� si ha per b < 1. Lo stimolo � rappresentato da una variazione della I che, se abbastanza rapida, permette di percorrere la nullclina.
Il sistema � non caotico ma con derivate di ordine diverso (Stiff). Si assuma I(t) = Δxδ(t), allora x(0⁺) = x ₀ + Δx se x(0^-) = x ₀, quindi se Δx supera una determinata soglia si ha una grande fluttuazione. Per (x,w) abbastanza grandi � possibile definire la funzione di Ljapunov

(4.9)

costante che rappresenta un’ellisse. La derivata della funzione di Ljapunov � negativa quindi la dinamica non � espansiva e il sistema non pu� esplodere: si arriva cos� ad una biforcazione di Hopf, ossia si parte da una situazione attrattiva rispetto al punto fisso e, passando attraverso una situazione repulsiva (grazie ad un parametro) si arriva ad un ciclo limite, quale traiettoria periodica di un attrattore dinamico.

Capitolo 5
Altre applicazioni

5.1 Fisica della citt�

Un’applicazione interessante dei sistemi complessi riguarda l’ambito urbano (e sociale). Uno dei primi problemi affrontati storicamente � il problema del traffico. Tante auto si muovono su un network, ognuna delle quali tende a mantenere una velocit� ottimale in base alla macchina che la precede: questa dinamica viola la terza legge di Newton in quanto non � detto che la macchina che sta dietro influenzi quella davanti. Le onde di traffico si vengono a creare a causa dei tempi di reazione degli automobilisti (mai istantanei). Nonostante la creazione di queste onde, il flusso di auto sulla strada rimane costante.
Osservando dati sperimentali riguardanti le velocit� si nota un appiattimento ad alte densit� della curva, dunque il tutto satura ad una velocit� media fissa. Posto j come indice di un veicolo, un modello stile Newton obbedisce a:

(5.1)

Il parametro β � proporzionale all’accelerazione ma l’equazione di secondo ordine implica un’equazione di prim’ordine con ritardo (tempo di reazione). Se β � molto basso allora si creano onde solitoniche e ogni plateau dell’onda corrisponde ad un equilibrio del sistema. Questo sistema statistico crea un equilibrio dinamico, perch� dinamicamente si ha qualcosa che si propaga nel sistema, che contiene un equilibrio dove le auto vanno veloce e uno dove le auto vanno lente. Quando il sistema non riesce a mantenere l’equilibrio globale, si formano degli equilibri a livello locale. Normalmente, infatti, si osserva che aumentando il numero di auto in una strada il flusso stesso aumenti fino ad arrivare ad una situazione di instabilit�: esiste quindi un valore critico di densit� superato il quale il flusso inizia a diminuire e il sistema non riesce pi� a rispondere al flusso immesso, dando luogo al flusso stop&go e creando l’onda solitonica.
Un fundamental diagram � un concetto molto utilizzato nelle reti di trasporto: in questo il punto critico di densit� risulta un massimo. Tuttavia, il meccanismo di stop&go si innesca molto prima che il sistema giunga a questo massimo La geometria del sistema � fondamentale, in quanto descrive come esso smorzi/sostenga le oscillazioni delle sorgenti. In autostrada, ad esempio, le congestioni (variazioni della velocit� media) si hanno nei punti di immissione, poi si propagano come onde solitone. Vi � inoltre un’alta sensibilit� alle fluttuazioni, in quanto ogni persona guida in modo differente, la cui ampiezza aumenta con la densit� seguendo un regime poissoniano (maggiore il valore medio maggiori le fluttuazioni). Per arrivare al flusso ottimale bisogna diminuire la fluttuazioni, quindi raffreddare il sistema (auto a guida autonoma).
Una proposta di Tom Tom utilizza la velocit� media come osservabile macroscopico: la velocit� media delle auto in citt� � tuttavia molto bassa, a causa delle soste forzate, mentre la mobilit� ciclistica risulta decisamente pi� alta.

5.1.1 Modelli di traffico

Si consideri ora un network in cui ogni nodo � o sorgente o destinazione (tipico di aeroporti e stazioni ferroviarie). Senza considerare la dinamica del singolo veicolo, si assuma poi che ogni link riesca a trasportare, quindi che abbia capacit� infinita (cosa non assumibile nel caso delle automobili). Cosa accade agli incroci?
Se si assumono nodi a capacit� finita allora la congestione si ha quando un nodo diminuisce la capacit� di creare trasporto. Sia n_i il numero di agenti presenti nel nodo i. Una volta fornito un peso al link la domanda di mobilit� dipender� da n e dal flusso tra i nodi i e j. Si pu� calcolare la probabilit� di transizione i → j come π_ijn_i: questa risulta proporzionale al numero di agenti, quindi maggiore � n_i maggiore � la probabilit� che questi si allontanino dal nodo i. Fisicamente questo ricorda un reticolo cristallino con elettroni ai nodi: un elettrone pu� transire da un nodo ad un altro solo se la destinazione � vuota.
Fondamentale ora introdurre una legge di continuit� (ossia una corrente), in quanto un nodo non pu� trasmettere oltre la sua popolazione:

(5.2)

dove d_i indica la capacit� di trasmissione (numero di agenti in uscita). Si richiede dunque che i flussi siano sempre positivi e che il numero di particelle sia conservato.
Si assuma ora che la velocit� di percorrenza sia dipendente dal numero di agenti presenti, quindi

dove L_ji = d_jδ_ji -π_ji � una matrice laplaciana. Le matrici laplaciane possiedono le seguenti propriet�:

• L_ji < 0 se j≠i

• ∑ _iL_ji = 0

• L_jj > 0

Si nota facilmente come nella matrice laplaciana gli elementi sulla diagonale principale descrivano la capacit� di trasporto del sistema, mentre gli elementi esterni alla diagonale descrivano i link. Le matrici laplaciane rappresentano di fatto leggi di bilancio di massa, ossia descrivono la mobilitazione da un punto ad un altro del network.
Un sistema di questo tende a rilassare ad un equilibrio: aumentando il numero di agenti in un nodo aumenter� anche la sua capacit� di farne uscire. Un sistema lineare infatti � insensibile al numero di particelle inserito ma � sensibile a un flusso in entrata variabile: in questo caso il sistema non pu� rilassare e la sua soluzione dipende dalla velocit� di variazione del flusso in entrata.
La terza propriet� della matrice laplaciana garantisce l’integrale del moto

mentre la seconda garantisce che tutti gli autovalori (eccetto uno che � di certo nullo) siano positivi. La dinamica risulta attrattiva verso lo stato di equilibrio, situato evidentemente nel primo quadrante. Le propriet� spettrali forniscono il tempo impiegato dal sistema per rilassare.
In generale, si pu� imporre la congestione con π_ij = π_ij(n_i). Un risultato simile � ottenibile anche utilizzando la funzione logistica, vedi eq. 1.3, utiizzandola come funzione che lega il numero di particelle al peso: all’aumentare di n il peso deve ridursi. In questo caso la congestione non si avr� inizialmente ma si creer� rapidamente dopo un certo lasso di tempo.
La congestione in un nodo si propaga facilmente anche ai nodi adiacenti: � dunque possibile creare effetti a cascata che si ripercuotano sul network intero, creando cos� una dinamica all’indietro.
Per un sistema non lineare a molti gradi di libert� il carico determina la dinamica, quindi il parametro di controllo � il numero di agenti caricato nel sistema.

I problemi di un tale sistema sono:

• studiarne gli stati di equilibrio, il cui numero aumenta con le dimensioni

• studiare cosa accade per fluttuazioni (ossia N = N(t))

• studiare network π_ij differenti per evitare le congestioni

• ottimizzare il flusso totale Φ = ∑ _ijπ(n_i)n_j

Tuttavia, per modificare i pesi � necessario trovare dei parametri di controllo, cosa per niente banale.
Spesso una congestione non pu� essere evitata quindi si tende a gestirla, ossia si cerca di riportare la rete in una situazione di trasporto.
Nel caso lineare la soluzione stazionaria � semplicemente il vettore che indica quanti agenti porre nei vari nodi = (n₁,…,n_N) che soddisfi la condizione

Le fluttuazioni sono inseribili nel sistema sotto forma di random walk, aggiungendo un parametro temperatura. Scelto un passo temporale, la transizione i → j avr� probabilit� π_ijΔt di avvenire. La probabilit� di non muoversi in una determinata direzione � data da 1 -∑ _jπ_ijΔt. Il passo Δt diventa quindi il tempo di evoluzione del sistema (tipicamente piccolo): imporre la linearit� rispetto ad esso evita processi non regolari (stocastici).
Una volta trovato l’autovalore nullo Ln = 0, la probabilit� di trovare la rete in un determinato stato � data da

(5.3)

5.2 Esempi

5.2.1 Optimal Velocity Model

L’OVM � un modello ad agente basato sulle seuguenti equazioni differenziali:

(5.4)

dove la seconda equazione deriva da ẋ_i(t + τ) = ẋ_i(t) + ẍ_i(t)τ + o(τ²).